Мега большие числа. Пишу о том что цепляет

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Так, например, числа и имеют собственные названия «единица» и «сто», а название числа уже составное («сто один»). Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.

«Короткая» и «длинная» шкала

История современной системы наименования больших чисел ведёт начало с середины XV века, когда в Италии стали пользоваться словами «миллион» (дословно - большая тысяча) для тысячи в квадрате, «бимиллион» для миллиона в квадрате и «тримиллион» для миллиона в кубе. Об этой системе мы знаем благодаря французскому математику Николя Шюке (Nicolas Chuquet, ок. 1450 – ок. 1500): в своём трактате «Наука о числах» (Triparty en la science des nombres, 1484) он развил эту идею, предложив дальше воспользоваться латинскими количественными числительными (см. таблицу), добавляя их к окончанию «-иллион». Так, «бимиллион» у Шюке превратился в биллион, «тримиллионом» в триллион, а миллион в четвёртой степени стал «квадриллионом».

В системе Шюке число , находившееся между миллионом и биллионом, не имело собственного названия и называлось просто «тысяча миллионов», аналогично называлось «тысяча биллионов», - «тысяча триллионов» и т.д. Это было не очень удобно, и в 1549 году французский писатель и учёный Жак Пелетье (Jacques Peletier du Mans, 1517–1582) предложил поименовать такие «промежуточные» числа при помощи тех же латинских префиксов, но окончания «-иллиард». Так, стало называться «миллиардом», - «биллиардом», - «триллиардом» и т.д.

Система Шюке-Пелетье постепенно стала популярна и ей стали пользоваться по всей Европе. Однако в XVII веке возникла неожиданная проблема. Оказалось, что некоторые учёные почему-то стали путаться и называть число не «миллиардом» или «тысячей миллионов», а «биллионом». Вскоре эта ошибка быстро распространилась, и возникла парадоксальная ситуация - «биллион» стал одновременно синонимом «миллиарда» () и «миллиона миллионов» ().

Эта путаница продолжалась достаточно долго и привела к тому, что в США создали свою систему наименования больших чисел. По американской системе названия чисел строятся так же, как в системе Шюке, - латинский префикс и окончание «иллион». Однако величины этих чисел отличаются. Если в системе Шюке названия с окончанием «иллион» получали числа, которые являлись степенями миллиона, то в американской системе окончание «-иллион» получили степени тысячи. То есть тысяча миллионов () стала называться «биллионом», () - «триллионом», () - «квадриллионом» и т.д.

Старая же система наименования больших чисел продолжала использоваться в консервативной Великобритании и стала во всём мире называться «британской», несмотря на то, что она была придумана французами Шюке и Пелетье. Однако в 1970-х годах Великобритания официально перешла на «американскую систему», что привело к тому, что называть одну систему американской, а другую британской стало как-то странно. В результате, сейчас американскую систему обычно называют «короткой шкалой», а британскую систему или систему Шюке-Пелетье - «длинной шкалой».

Чтобы не запутаться, подведём промежуточный итог:

Название числа	Значение по «короткой шкале»	Значение по «длинной шкале»
Миллион
Миллиард
Биллион
Биллиард	-
Триллион
Триллиард	-
Квадриллион
Квадриллиард	-
Квинтиллион
Квинтиллиард	-
Секстиллион
Секстиллиард	-
Септиллион
Септиллиард	-
Октиллион
Октиллиард	-
Нониллион
Нониллиард	-
Дециллион
Дециллиард	-
Вигинтиллион
Вигинтиллиард	-
Центиллион
Центиллиард	-
Миллеиллион
Миллеиллиард	-

Короткая шкала наименования используется сейчас в США, Великобритании, Канаде, Ирландии, Австралии, Бразилии и Пуэрто-Рико. В России, Дании, Турции и Болгарии также используется короткая шкала, за исключением того, что число называется не «биллион», а «миллиард». Длинная же шкала в настоящее время продолжает использоваться в большинстве остальных стран.

Любопытно, что у нас в стране окончательный переход к короткой шкале произошёл лишь во второй половине XX века. Так, например, ещё Яков Исидорович Перельман (1882–1942) в своей «Занимательной арифметике» упоминает параллельное существование в СССР двух шкал. Короткая шкала, согласно Перельману, использовалась в житейском обиходе и финансовых расчётах, а длинная - в научных книгах по астрономии и физике. Однако сейчас использовать в России длинную шкалу неправильно, хотя числа там получаются и большие.

Но вернемся к поиску самого большого числа. После дециллиона названия чисел получаются путём объединения приставок. Так получаются такие числа как ундециллион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион, новемдециллион и т.д. Однако эти названия нам уже не интересны, так как мы условились найти наибольшее число с собственным несоставным названием.

Если же мы обратимся к латинской грамматике, то обнаружим, что несоставных названий для чисел больше десяти у римлян было всего три: viginti - «двадцать», centum - «сто» и mille - «тысяча». Для чисел больше, чем «тысяча», собственных названий у римлян не имелось. Например, миллион () римляне называли «decies centena milia», то есть «десять раз по сотне тысяч». По правилу Шюке, эти три оставшихся латинских числительных дают нам такие названия для чисел как «вигинтиллион», «центиллион» и «миллеиллион».

Итак, мы выяснили, что по «короткой шкале» максимальное число, которое имеет собственное название и не является составным из меньших чисел - это «миллеиллион» (). Если бы в России была бы принята «длинная шкала» наименования чисел, то самым большим числом с собственным названием оказался бы «миллеиллиард» ().

Однако существуют названия и для ещё больших чисел.

Числа вне системы

Некоторые числа имеют собственное название, без какой-либо связи с системой наименования при помощи латинских префиксов. И таких чисел немало. Можно, к примеру, вспомнить число e, число «пи», дюжину, число зверя и пр. Однако так как нас сейчас интересуют большие числа, то рассмотрим лишь те числа с собственным несоставным названием, которые больше миллиона.

До XVII века на Руси применялась собственная система наименования чисел. Десятки тысяч назывались «тьмами», сотни тысяч - «легионами», миллионы - «леодрами», десятки миллионов - «воронами», а сотни миллионов - «колодами». Этот счёт до сотен миллионов назывался «малым счётом», а в некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счёт», в котором употреблялись те же названия для больших чисел, но уже с другим смыслом. Так, «тьма» означала уже не десять тысяч, а тысячу тысяч () , «легион» - тьму тем () ; «леодр» - легион легионов () , «ворон» - леодр леодров (). «Колодой» же в великом славянском счёте почему-то называли не «ворон воронов» () , а лишь десять «воронов», то есть (см. таблицу).

Название числа	Значение в «малом счёте»	Значение в «великом счёте»	Обозначение
Тьма
Легион
Леодр
Ворон (вран)
Колода
Тьма тем

Число также имеет собственное название и придумал его девятилетний мальчик. А дело было так. В 1938 году американский математик Эдвард Кэснер (Edward Kasner, 1878–1955) гулял по парку с двумя своими племянниками и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Один из племянников, девятилетний Милтон Сиротта (Milton Sirott), предложил назвать это число «гуголом» (googol). В 1940 году Эдвард Кэснер совместно с Джеймсом Ньюманом написал научно-популярную книгу «Математика и воображение», где и рассказал любителям математики о числе гугол. Еще более широкую известность гугол получил в конце 1990-х, благодаря названной в честь него поисковой машине Google.

Название для ещё большего числа, чем гугол, возникло в 1950 году благодаря отцу информатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). В своей статье «Программирование компьютера для игры в шахматы» он попытался оценить количество возможных вариантов шахматной игры. Согласно ему, каждая игра длится в среднем ходов и на каждом ходе игрок делает выбор в среднем из вариантов, что соответствует (примерно равное ) вариантам игры. Эта работа стала широко известной, и данное число стало называться «числом Шеннона».

В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящемся к 100 году до н.э., встречается число «асанкхейя» равное . Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Девятилетний Милтон Сиротта вошёл в историю математики не только тем, что придумал число гугол, но и тем, что одновременно с ним предложил ещё одно число - «гуголплекс», которое равно в степени «гугол», то есть единице с гуголом нулей.

Ещё два числа, большие, чем гуголплекс, были предложены южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом (Stanley Skewes, 1899–1988) при доказательстве гипотезы Римана. Первое число, которое позже стали называть «первым числом Скьюза», равно в степени в степени в степени , то есть . Однако «второе число Скьюза» ещё больше и составляет .

Очевидно, что чем больше в числе степеней в степенях, тем сложнее записывать числа и понимать их значение при чтении. Мало того, возможно придумать такие числа (и они, кстати, уже придуманы), когда степени степеней просто не помещаются на страницу. Да, что на страницу! Они не уместятся даже в книгу размером с всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же такие числа записывать. Проблема, к счастью, разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой, придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких не связанных друг с другом способов для записи больших чисел - это нотации Кнута, Конвея, Штейнгауза и др. С некоторыми из них нам сейчас предстоит разобраться.

Иные нотации

В 1938 году, в тот же год, когда девятилетний Милтон Сиротта придумал числа гугол и гуголплекс, в Польше вышла книжка о занимательной математике «Математический калейдоскоп», написанная Гуго Штейнгаузом (Hugo Dionizy Steinhaus, 1887–1972). Эта книга стала очень популярной, выдержала множество изданий и была переведена на многие языки, в том числе на английский и русский. В ней Штейнгауз, обсуждая большие числа, предлагает простой способ их записи, используя три геометрические фигуры - треугольник, квадрат и круг:

« в треугольнике» означает «»,
« в квадрате» означает « в треугольниках»,
« в круге» означает « в квадратах».

Объясняя этот способ записи, Штейнгауз придумывает число «мега», равное в круге и показывает, что оно равно в «квадрате» или в треугольниках. Чтобы подсчитать его, надо возвести в степень , получившееся число возвести в степень , затем получившееся число возвести в степень получившегося числа и так далее всего возводить в степень раз. К примеру, калькулятор в MS Windows не может подсчитать из-за переполнения даже в двух треугольниках. Приблизительно же это огромное число составляет .

Определив число «мега», Штейнгауз предлагает уже читателям самостоятельно оценить другое число - «медзон», равное в круге. В другом издании книги Штейнгауз вместо медзона предлагает оценить ещё большее число - «мегистон», равное в круге. Вслед за Штейнгаузом я также порекомендую читателям на время оторваться от этого текста и самим попробовать записать эти числа при помощи обычных степеней, чтобы почувствовать их гигантскую величину.

Впрочем, есть названия и для больших чисел. Так, канадский математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921–1970) доработал нотацию Штейнгауза, которая была ограничена тем, что, если бы потребовалось записать числа много большие мегистона, то возникли бы трудности и неудобства, так как пришлось бы рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

« треугольнике» = = ;
« в квадрате» = = « в треугольниках» = ;
« в пятиугольнике» = = « в квадратах» = ;
« в -угольнике» = = « в -угольниках» = .

Таким образом, по нотации Мозера штейнгаузовский «мега» записывается как , «медзон» как , а «мегистон» как . Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге - «мегагоном». И предложил число « в мегагоне», то есть . Это число стало известным как число Мозера или просто как «мозер».

Но даже и «мозер» не самое большое число. Итак, самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является «число Грэма». Впервые это число было использовано американским математиком Рональдом Грэмом (Ronald Graham) в 1977 году при доказательстве одной оценки в теории Рамсея, а именно при подсчёте размерности определённых -мерных бихроматических гиперкубов. Известность же число Грэма получило лишь после рассказа о нём в вышедшей в 1989 году книге Мартина Гарднера «От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам».

Чтобы объяснить, как велико число Грэма, придётся объяснить ещё один способ записи больших чисел, введённый Дональдом Кнутом в 1976 году. Американский профессор Дональд Кнут придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх.

Обычные арифметические операции - сложение, умножение и возведение в степень - естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом.

Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить копий числа »):

Например,

Возведение числа в степень может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить копий числа »), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:

Например,

Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.

Например,

Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево, также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,

Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):

Затем оператора «четверная стрелочка»:

И т. д. Общее правило оператор «-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов « стрелочка». Символически это можно записать следующим образом,

Например:

Форма обозначения обычно используется для записи с стрелочками.

Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора -стрелочка предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам. Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма.

При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грэма может быть записано как

Где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть , где , где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, вычисляется в шага: на первом шаге мы вычисляем с четырьмя стрелками между тройками, на втором - с стрелками между тройками, на третьем - с стрелками между тройками и так далее; в конце мы вычисляем с стрелок между тройками.

Это может быть записано как , где , где верхний индекс у означает итерации функций.

Если другим числам с «именами» можно подобрать соответствующее число объектов (например, количество звезд в видимой части Вселенной оценивается в секстильонов - , а количество атомов, из которых состоит земной шар имеет порядок додекальонов), то гугол уже «виртуальный», не говоря уже об числе Грэма. Масштаб только первого члена настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя - это всего лишь количество башен в этой формуле для , уже это число много больше количества объёмов Планка (наименьший возможный физический объём), которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно ). После первого члена нас ожидают ещё члена стремительно растущей последовательности.

10 в 3003 степени

Споры о том, какая самая большая цифра в мире, ведутся постоянно. Разные системы исчисление предлагают разные варианты и люди не знают чему верить, и какую именно цифру считать самой большой.

Данный вопрос интересовал ученых еще со времен Римской империи. Наибольшая загвоздка кроется в определении, что такое «число», и что такое «цифра». В свое время люди длительное время считали самым большим числом дециллион, то есть 10 в 33 степени. Но, после того, как ученые стали активно изучать американскую и английскую метрические системы, было обнаружено, что самое большое число в мире это 10 в 3003 степени – миллеиллион. Люди в повседневной жизни считают, что самой большой цифрой является триллион. Причем, это довольно формально, поскольку после триллиона, названия просто не даются, ведь счет начинается слишком сложный. Однако, чисто теоретически, количество нулей можно прибавлять до бесконечности. Поэтому представить даже чисто визуально триллион и то, что следует за ним, является практически невозможным.

В римских цифрах

С другой стороны, определение «цифры» в понимании математиков, это немного иное. Под цифрой подразумевается знак, который принят повсеместно и используется для того, чтобы обозначить количество, выраженное в числовом эквиваленте. Под вторым понятием «число» подразумевается выражение количественных характеристик в удобном виде через использование цифр. Из этого следует, что числа состоят из цифр. Также важно то, что цифра обладает знаковыми свойствами. Они обусловлены, узнаваемы, неизменяемы. Числа тоже имеют знаковые свойства, но они вытекают из того, что числа состоят из цифр. Отсюда можно сделать вывод, что триллион, это вовсе не цифра, а число. Тогда, какая же самая большая цифра в мире, если это не триллион, который является числом?

Важно то, что цифры используются, как составляющие числа, но и не только это. Цифра впрочем это то же число, если мы говорим о каких-то вещах, считая их от нуля и до девяти. Такая система признаков применяется не только к привычным нам арабским цифрам, но также и к римским I, V, X, L, C, D, M. Это римские цифры. С другой стороны V I I I – это римское число. В арабском исчислении ему соответствует цифра восемь.

В арабских цифрах

Таким образом, получается, что цифрами считаются единицы счета от нуля до девяти, а все остальное числа. Отсюда вывод, что самой большой цифрой в мире получается девять. 9 – знак, а число это простая количественная абстракция. Триллион это число, и никак не цифра, а потому не может быть самой большой цифрой в мире. Триллионом можно назвать самое большое число в мире и то чисто номинально, поскольку числа можно считать до бесконечности. Число цифр же строго ограничено – от 0 и до 9.

Также следует помнить, что цифры и числа разных систем исчисления не совпадают, как мы видели из примеры с арабскими и римскими числами и цифрами. Это происходит потому, что цифры и числа это простые понятия, которые выдумывает сам человек. Поэтому число одной системы исчисления с легкостью может быть цифрой другой и наоборот.

Таким образом, самое большое число является неисчислимым, ведь его можно продолжать складывать до бесконечности из цифр. Что касается, собственно цифр, то в общепринятой системе, самой большой цифрой считается 9.

Отвечая на такой нелегкий вопрос, какое оно, самое большое число в мире, сначала следует отметить, что на сегодняшний день присутствуют 2 принятых способа наименования чисел – английская и американская. Согласно английской системе, к каждому большому числу по очередности добавляются суффиксы –иллиард или –иллион, в результате чего образуются числа миллион, миллиард, триллион, триллиард и так далее. Если исходить из американской системы, то согласно ей, к каждому большому числу необходимо добавлять суффикс –иллион, в результате чего образуются числа триллион, квадриллион и большие. Здесь же необходимо отметить, что английская система исчисления является более распространенной в современном мире, а имеющиеся в ней числа являются вполне достаточными для нормального функционирования всех систем нашего мира.

Конечно, ответ на вопрос о самом большом числе с логической точки зрения, не может быть однозначным, ведь стоит только прибавить к каждой последующей цифре единицу, то получается уже новое большее число, следовательно, этот процесс не имеет своего предела. Однако, как ни странно, самое большое число в мире все-таки имеется и оно занесено в Книгу рекордов Гиннеса.

Число Грэма – самое большое число в мире

Именно это число признано в мире самым большим в Книге рекордов, при этом весьма трудно объяснить, что же оно из себя представляет и насколько оно велико. В общем смысле, это тройки, умноженные между собой, в результате чего образуется число, которое на 64 порядка стоит выше точки понимания каждого человека. В результате мы можем привести лишь заключительные 50 цифр числа Грэма – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Число Гугола

История возникновения этого числа является не столь сложной, как вышеназванного. Так математик из Америки Эдвард Казнер, разговаривая со своими племянниками о больших цифрах, не смог ответить на вопрос, как называть числа, у которых 100 нулей и более. Находчивый племянник предложил таким числам свое название – гугол. Следует отметить, что большого практического значения это число не имеет, однако, он иногда используется в математике для выражения бесконечности.

Гуглоплекс

Данное число также придумано математиком Эдвардом Казнером и его племянником Милтоном Сироттой. В общем смысле оно представляет собой число в десятой степени гугол. Отвечая на вопрос многих любознательных натур, сколько нулей в гуглоплексе, стоит отметить, что в классическом варианте это число представить не составляет никакой возможности, даже если исписать всю бумагу, имеющуюся на планете классическими нулями.

Число Скьюза

Еще одним претендентом на звание самого большого числа является число Скьюза, доказанное Джоном Литтвудом в 1914 году. Согласно приведенным доказательствам, это число приблизительно составляет 8,185·10370.

Число Мозера

Это метод названия очень больших чисел был придуман Гуго Штейнгаузом, который предложил обозначать их многоугольниками. В результате трех проведенных математических операций рождается число 2 в мегагоне (многоугольнике с мегой сторон).

Как можно уже заметить, огромное количество математиков прилагало усилия для того, чтобы найти его – наибольшее число в мире. Насколько эти попытки увенчались успехом, конечно, судить не нам, однако, нельзя не отметить, что реальная применимость таких чисел сомнительна, ведь они не поддаются даже человеческому пониманию. К тому же всегда найдется то число, которое будет больше, если совершить совсем легкую математическую операцию +1.

Есть числа, которые так неимоверно, невероятно велики, что даже для того чтобы записать их, потребуется вся вселенная целиком. Но вот что действительно сводит с ума… некоторые из этих непостижимо больших чисел крайне важны для понимания мира.

Когда я говорю “наибольшее число во Вселенной’’, в действительности я имею в виду самое большое значимое число, максимально возможное число, которое в некотором роде полезно. Есть много претендентов на этот титул, но я сразу же предупреждаю вас: в самом деле существует риск того, что попытка понять все это взорвет ваш мозг. И кроме того, с излишком математики, вы получите мало удовольствия.

Гугол и гуголплекс

Эдвард Каснер

Мы могли бы начать с двух, весьма вероятно, самых больших чисел, о которых вы когда-либо слышали, и это действительно два самых больших числа, которые имеют общепринятые определения в английском языке. (Имеется довольно точная номенклатура, применяемая для обозначения чисел столь больших, как вам хотелось бы, но эти два числа в настоящее время вы не найдете в словарях.) Гугол, с тех пор как он стал всемирно известным (хотя и с ошибками, примеч. в самом деле это googol) в виде Google, родился в 1920 году как способ заинтересовать детей большими числами.

С этой целью Эдвард Каснер (на фото), взял двух своих племянников, Мильтона и Эдвина Сиротт, на прогулку по Нью-Джерси Palisades. Он предложил им выдвигать любые идеи, и тогда девятилетний Мильтон предложил “гугол’’. Откуда он взял это слово, неизвестно, но Каснер решил, что или число, в котором за единицей стоят сто нулей отныне будет называться гугол.

Но молодой Мильтон на этом не остановился, он предложил еще большее число, гуголплекс. Это число, по мнению Мильтона, в котором на первом месте стоит 1, а затем столько нулей, сколько вы могли бы написать до того как устанете. Хотя эта идея очаровательна, Каснер решил, что необходимо более формальное определение. Как он объяснил в своей книге 1940 года издания “Математика и воображение’’, определение Мильтона оставляет открытой рискованную возможность того, что случайный шут может стать математиком, превосходящим Альберта Эйнштейна просто потому, что он обладает большей выносливостью.

Таким образом, Каснер решил, что гуголплекс будет равен , или 1, а затем гугол нулей. Иначе, и в обозначениях, аналогичных тем, с которыми мы будем иметь дело для других чисел, мы будем говорить, что гуголплекс — это . Чтобы показать, насколько это завораживает, Карл Саган однажды заметил, что физически невозможно записать все нули гуголплекса, потому что просто не хватит места во Вселенной. Если заполнить весь объем наблюдаемой Вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно в 1,5 микрона, то число различных способов расположения этих частиц будет примерно равно одному гуголплексу.

Лингвистически говоря, гугол и гуголплекс, вероятно, два самых больших значащих числа (по крайней мере, в английском языке), но, как мы сейчас установим, способов определения “значимости’’ бесконечно много.

Реальный мир

Если мы будем говорить о самом большом значащем числе, существует разумный аргумент, что это в самом деле означает, что нужно найти наибольшее число с реально существующим в мире значением. Мы можем начать с текущей человеческой популяции, которая в настоящее время составляет около 6920 миллионов. Мировой ВВП в 2010 году, по оценкам, составил около 61960 миллиардов долларов, но оба эти числа незначительны по сравнению с примерно 100 триллионами клеток, составляющих организм человека. Конечно, ни одно из этих чисел не может сравниться с полным числом частиц во Вселенной, которое, как правило, считается равным примерно , и это число настолько велико, что наш язык не имеет соответствующего ему слова.

Мы можем поиграть немного с системами мер, делая числа больше и больше. Так, масса Солнца в тоннах будет меньше, чем в фунтах. Прекрасный способ сделать это состоит в использовании системы единиц Планка, которые являются наименьшими возможными мерами, для которых остаются в силе законы физики. Например, возраст Вселенной во времени Планка составляет около . Если мы вернемся в первую единицу времени Планка после Большого Взрыва, то увидим, что плотность Вселенной была тогда . Мы получаем все больше, но мы еще не достигли даже гугола.

Наибольшее число с каким-либо реальным приложением мире — или, в данном случае реальным применением в мирах — вероятно, , — одна из последних оценок числа вселенных в мультивселенной. Это число настолько велико, что человеческий мозг будет буквально не в состоянии воспринять все эти разные вселенные, поскольку мозг способен только примерно на конфигураций. На самом деле, это число, вероятно, самое большое число с каким-либо практическим смыслом, если вы не принимаете во внимание идею мультивселенной в целом. Однако существуют еще намного большие числа, которые там скрываются. Но для того, чтобы найти их, мы должны отправиться в область чистой математики, и нет лучшего начала, чем простые числа.

Простые числа Мерсенна

Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на и самого себя. Итак, и — простые числа, а и — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете быть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число является более важным, чем, скажем, , потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.

Очевидно, мы можем пойти немного дальше. , например, на самом деле просто , что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом , математик еще может выразить число . Но уже следующее число простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел и , перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.

Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида . Так, например, , и это число простое, то же самое верно и для .

Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число — число с цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число простое, и это число состоит из цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.

Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время -е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа, и если вы хотите помочь найти еще большее число Мерсенна, вы (и ваш компьютер) всегда можете присоединиться к поиску на сайте http://www.mersenne.org/.

Число Скьюза

Стэнли Скьюз

Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.

Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших . Например, если , функция предсказывает, что должно быть простых чисел, если — простых числа, меньших , и если , то существует меньших чисел, которые являются простыми.

Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть простых чисел, меньших , простых чисел меньших , и простых чисел меньших . Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.

Во всех известных случаях до , функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших . Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.

Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз (см. фото). В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число . Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа , но исходное число осталось известно как число Скьюза.

Итак, насколько велико число , которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:

“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.

И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до .

Проблема величины

Прежде чем мы перейдем к числу, рядом с которым даже число Скьюза выглядит крошечным, нам нужно немного поговорить о масштабе, потому что иначе у нас нет возможности оценить, куда мы собираемся идти. Сначала давайте возьмем число — это крошечное число, настолько малое, что люди могут действительно иметь интуитивное понимание того, что оно значит. Есть очень мало чисел, которые соответствуют этому описанию, так как числа больше шести перестают быть отдельными числами и становятся “несколько’’, “много’’ и т.д.

Теперь давайте возьмем , т.е. . Хотя мы в действительности не можем интуитивно, как это было для числа , понять, что такое , представить себе то, чем является очень легко. Пока все идет хорошо. Но что произойдет, если мы перейдем к ? Это равно , или . Мы очень далеки от способности представить себе эту величину, как и любую другую, очень большую — мы теряем способность постигать отдельные части где-то около миллиона. (Правда, безумно большое количество времени заняло бы, чтобы действительно досчитать до миллиона чего бы то ни было, но дело в том, что мы все еще способны воспринимать это число.)

Тем не менее, хотя мы не можем представить , мы по крайней мере в состоянии понять в общих чертах, что такое 7600 млрд, возможно, сравнивая его с чем-то таким, как ВВП США. Мы перешли от интуиции к представлению и к простому пониманию, но по крайней мере у нас еще есть некоторый пробел в понимании того, что такое число. Это вот-вот изменится, по мере нашего продвижения на еще одну ступень вверх по лестнице.

Для этого нам нужно перейти к обозначению, введенному Дональдом Кнутом, известному как стрелочная нотация. В этих обозначениях можно записать в виде . Когда мы затем перейдем к , число, которое мы получим, будет равно . Это равно где в общей сложности троек. Мы теперь значительно и по-настоящему превзошли все другие числа, о которых уже говорили. В конце концов, даже в самых больших из них было всего три или четыре члена в ряду показателей. Например, даже супер-число Скьюза — это “только’’ — даже с поправкой на то, что и основание, и показатели гораздо больше, чем , оно по-прежнему абсолютно ничто по сравнению с величиной числовой башни с млрд членов.

Очевидно, что нет никакого способа для постижения настолько огромных чисел… и тем не менее, процесс, посредством которого они созданы, еще можно понять. Мы не могли бы понять реальное количество, которое задается башней степеней, в которой млрд троек, но мы можем в основном представить такую башню со многими членами, и действительно приличный суперкомпьютер сможет хранить в памяти такие башни, даже если он не сможет вычислить их действительные значения.

Это становится все более абстрактным, но дальше будет только хуже. Вы можете подумать, что башня степеней , длина показателя которой равна (более того, в предыдущей версии этого поста я сделал именно эту ошибку), но это просто . Другими словами, представьте, что у вас есть возможность вычислить точное значение степенной башни из троек, которая состоит из элементов, а потом вы взяли это значение и создали новую башню с таким количеством в нем,… которое дает .

Повторите этот процесс с каждым последующим числом (примеч. начиная справа), пока вы не сделаете это раза, и тогда наконец вы получите . Это число, которое просто невероятно велико, но по крайней мере шаги его получения вроде бы понятны, если все делать очень медленно. Мы больше не можем понять числа или представить процедуру, благодаря которой оно получается, но, по крайней мере, мы можем понять основной алгоритм, только в достаточно большой срок.

Теперь подготовим ум к тому, чтобы его действительно взорвать.

Число Грэма (Грехема)

Рональд Грэм

Вот как вы получите число Грэма, которое занимает место в Книге рекордов Гиннеса как самое большое число, которое когда-либо использовали в математическом доказательстве. Совершенно невозможно представить, насколько оно велико, и столь же трудно точно объяснить, что это такое. В принципе, число Грэма появляется, когда имеют дело с гиперкубами, которые являются теоретическими геометрическими формами с более чем тремя измерениями. Математик Рональд Грэм (см. фото) хотел выяснить, при каком наименьшем числе измерений определенные свойства гиперкуба будут оставаться устойчивыми. (Простите за такое расплывчатое объяснение, но я уверен, что нам всем нужно получить по крайней мере две ученые степени по математике, чтобы сделать его более точным.)

В любом случае число Грэма является оценкой сверху этого минимального числа измерений. Итак, насколько велика эта верхняя граница? Давайте вернемся к числу , такому большому, что алгоритм его получения мы можем понять достаточно смутно. Теперь, вместо того, чтобы просто прыгать вверх еще на один уровень до , мы будем считать число , в котором есть стрелки между первой и последней тройками. Теперь мы находимся далеко за пределами даже малейшего понимания того, что такое это число или даже от того, что нужно делать, чтобы его вычислить.

Теперь повторим этот процесс раза (примеч. на каждом следующем шаге мы пишем число стрелок, равное числу, полученному на предыдущем шаге).

Это, дамы и господа, число Грэма, которое примерно на порядка стоит выше точки человеческого понимания. Это число, которое настолько больше, чем любое число, которое можно себе представить — это гораздо больше, чем любая бесконечность, которую вы могли бы когда-либо надеяться себе представить — оно просто не поддается даже самому абстрактному описанию.

Но вот странная вещь. Поскольку число Грэма в основном — это просто тройки, перемноженные между собой, то мы знаем некоторые его свойства без фактического его вычисления. Мы не можем представить число Грэма с помощью любых знакомых нам обозначений, даже если бы мы использовали всю Вселенную, чтобы записать его, но я могу назвать вам прямо сейчас последние двенадцать цифр числа Грэма: . И это еще не все: мы знаем по крайней мере последних цифр числа Грэма.

Конечно, стоит помнить, что это число только верхняя граница в исходной задаче Грэма. Вполне возможно, что фактическое число измерений, необходимых для выполнения нужного свойства гораздо, гораздо меньше. На самом деле, еще с 1980-х годов считалось, по мнению большинства специалистов в этой области, что фактически число измерений всего лишь шесть — число настолько малое, что мы можем понять его на интуитивном уровне. С тех пор нижняя граница была увеличена до , но есть еще очень большой шанс, что решение задачи Грэма не лежит рядом с числом столь же большим, как число Грэма.

К бесконечности

Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма . Что касается значащего числа… хорошо, есть некоторые дьявольски сложные области математики (в частности, области, известной как комбинаторика) и информатики, в которых встречаются числа даже большие, чем число Грэма. Но мы почти достигли предела того, что, как я могу надеяться, когда-либо смогут разумно объяснить. Для тех, кто достаточно безрассуден достаточно, чтобы пойти еще дальше, предлагается литература для дополнительного чтения на свой страх и риск.

Ну а сейчас удивительная цитата, которая приписывается Дугласу Рею (примеч. честно говоря, звучит довольно забавно ):

“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.

Думали ли вы когда-нибудь, сколько нулей имеется в одном миллионе? Это довольно простой вопрос. А как насчет миллиарда или триллиона? Единица с девятью нулями (1000000000) - как называется число?

Краткий список чисел и их количественное обозначение

• Десять (1 ноль).
• Сто (2 нуля).
• Тысяча (3 нуля).
• Десять тысяч (4 нуля).
• Сто тысяч (5 нулей).
• Миллион (6 нулей).
• Миллиард (9 нулей).
• Триллион (12 нулей).
• Квадриллион (15 нулей).
• Квинтильон (18 нулей).
• Секстиллион (21 нуль).
• Септильон (24 нуля).
• Октальон (27 нулей).
• Нональон (30 нулей).
• Декальон (33 нуля).

Группировка нулей

1000000000 - как называется число, у которого есть 9 нулей? Это миллиард. Для удобства большие числа принято группировать по три набора, отделяемых друг от друга при помощи пробела или таких знаков препинания, как запятая или точка.

Это делается для того, чтобы легче было читать и понимать количественное значение. Например, как называется число 1000000000? В таком виде стоит немного напречься, посчитать. А если написать 1,000,000,000, то сразу визуально задача облегчается, так считать нужно не нули, а тройки нулей.

Числа с очень большим количеством нулей

Из наиболее популярными являются миллион и миллиард (1000000000). Как называется число, имеющее 100 нулей? Это цифра googol, называнная так еще Милтоном Сироттой. Это дико огромное количество. Считаете ли вы, что это число большое? Тогда как насчет googolplex, единицы, за которой следует googol нулей? Эта цифра настолько велика, что и смысл для нее придумать сложно. По сути, необходимости в таких гигантах нет, разве что подсчитывать число атомов в бесконечной Вселенной.

1 миллиард - это много?

Существуют две шкалы измерения - короткая и длинная. Во всем мире в области науки и финансов 1 миллиард составляет 1 000 миллионов. Это по короткой шкале. По ней это число с 9 нулями.

Существует также длинная шкала, которая используется в некоторых европейских странах, в том числе во Франции, и раньше использовалась в Великобритании (до 1971 года), где миллиард составлял 1 миллион миллионов, то есть единица и 12 нулей. Эту градацию еще называют долгосрочным масштабом. Короткая шкала теперь является преобладающей при решении финансовых и научных вопросов.

Некоторые европейские языки, такие как шведский, датский, португальский, испанский, итальянский, голландский, норвежский, польский, немецкий, используют миллиард (или биллион) имеенно в этой системе. В русском языке число с 9 нулями также описывается для короткой шкалы тысяча миллионов, а триллион - это миллион миллионов. Это позволяет избежать лишней путаницы.

Разговорные варианты

В русской разговорной речи после событий 1917 года - Великой Октябрьской революции - и периода гиперинфляции в начале 1920-х гг. 1 млрд. рублей называли «лимард». А в лихие 1990-е для миллиарда появилось новое сленговое выражение «арбуз», миллион называли «лимоном».

Слово «миллиард» теперь используется на международном уровне. Это натуральное число, которое изображается в десятичной системе, как 10 9 (единица и 9 нулей). Есть также и другое название - биллион, которое не используется в России и странах СНГ.

Миллиард = биллион?

Такое слово, как биллион, применяется для обозначения миллиарда только в тех государствах, в которых за основу принята «короткая шкала». Это такие страны, как Российская Федерация, Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии, США, Канада, Греция и Турция. В других странах понятие биллион означает число 10 12 , то есть один и 12 нулей. В странах с «короткой шкалой», в том числе в России, эта цифра соответствует 1 триллиону.

Такая неразбериха появилась во Франции в то время, когда происходило становление такой науки, как алгебра. Изначально у миллиарда было 12 нулей. Однако все изменилось после появления основного пособия по арифметике (автор Траншан) в 1558 году), где миллиард - это уже число с 9 нулями (тысяча миллионов).

Несколько последующих столетий эти два понятия употреблялись наравне друг с другом. В середине 20 века, а именно в 1948 году, Франция перешла на длинную шкалу системы числовых наименований. В связи с этим, короткая шкала, некогда позаимствованная у французов, все же отличается от той, которой они пользуются сегодня.

Исторически сложилось так, что Соединенное Королевство использовало долгосрочный миллиард, но с 1974 года официальная статистика Великобритании использовала краткосрочную шкалу. С 1950-х годов краткосрочная шкала все чаще использовалась в области технической письменности и журналистики, несмотря на то, что по-прежнему сохранялась долгосрочная шкала.