Платоновы тела кратко. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА [П. - от греч. Platon (427–347 гг. до н. э. / Т. - происх. см. ТЕЛО), совокупность всех правильных многогранников [т. е. объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками] трехмерного Мира, впервые описанных Платоном (им также посвящена заключительная, XIII-я книга «Начал» Платонова ученика Евклида); // при всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П.т. (см. Табл. 6), в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания; любопытна связь, существующая между гексаэдром и октаэдром, а также между додекаэдром и икосаэдром: геометрические центры граней каждого первого являются вершинами каждого второго.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Наименование Кол-во граней Стихия
Тетраэдр 4 Огонь
Гексаэдр/Куб 6 Земля
Октаэдр 8 Воздух
Икосаэдр 10 Вода
Додекаэдр 12 Эфир

Платоновы тела

Мир звездчатых многогранников

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Текущая страница: 4 (всего у книги 36 страниц) [доступный отрывок для чтения: 9 страниц]

Платон I: Структура из симметрии – платоновы тела

Платоновы тела поддерживают вокруг себя какую-то магию. Они всегда были и остаются теми объектами, с которыми можно творить волшебство. Они уходят корнями глубоко в доисторическую пору человечества и живут сейчас как предметы, сулящие удачу или неудачу в самых известных настольных играх, в частности в знаменитых «Подземельях и драконах». Кроме того, их таинственная сила вдохновила ученых на некоторые из самых плодотворных открытий в развитии математики и физики. Их невыразимая красота достойна того, чтобы поглубже сконцентрироваться на них.

Альбрехт Дюрер на своей гравюре «Меланхолия I» (илл. 4) подразумевает очарование правильных многогранников, хотя тело, изображенное на его картине, не вполне платоново. (Технически это усеченный треугольный трапецоэдр. Он может быть получен растягиванием граней октаэдра определенным образом.) Возможно, Крылатый Гений впал в меланхолию, потому что не может вникнуть, почему злобная летучая мышь сбросила ему в кабинет именно это, не вполне платоново тело вместо правильной фигуры.

Илл. 4. Альбрехт Дюрер «Меланхолия I»

На картине изображено усеченное платоново тело, магический квадрат и множество других эзотерических символов. С моей точки зрения, она прекрасно показывает досаду, которую я часто испытываю, пытаясь с помощью чистой идеи понять реальность. К счастью, так бывает не всегда.

Правильные многоугольники

Прежде чем перейти к платоновым телам, давайте начнем с чего-нибудь попроще – с их самых близких аналогов в двух измерениях, а именно с правильных многоугольников. Правильный многоугольник – это плоская фигура, у которой все стороны равны и смыкаются под равными углами. Самый простой правильный многоугольник имеет три стороны – это равносторонний треугольник. Далее идет квадрат с четырьмя сторонами. Затем – правильный пятиугольник, или пентагон (который был выбран символом пифагорейцев и взят за основу в проекте хорошо известной штаб-квартиры вооруженных сил9
Имеется в виду Пентагон – главное административное здание Министерства обороны США. – Прим. пер.

), шестиугольник (часть пчелиного улья и, как мы увидим далее, графена10
Слой атомов углерода, соединенных в гексагональную двумерную кристаллическую решетку. – Прим. пер.

), семиугольник (его можно найти на различных монетах), восьмиугольник (знаки обязательной остановки), девятиугольник… Этот ряд можно продолжать бесконечно: для каждого целого числа, начиная с трех, существует уникальный правильный многоугольник. В каждом случае количество вершин равно количеству сторон. Мы также можем рассматривать круг как предельный случай правильного многоугольника, где число сторон становится бесконечным.

Правильные многоугольники, в некотором интуитивном смысле, могут приобрести значение идеального воплощения плоскостных «атомов». Они могут служить как концептуальные атомы, из которых мы можем составлять более сложные построения порядка и симметрии.

Платоновы тела

Теперь перейдем от плоских фигур к объемным. Для максимального единообразия мы можем обобщать понятие правильного многогранника различными способами. Самый естественный из них, который оказывается наиболее плодотворным, ведет к платоновым телам. Мы говорим об объемных телах, грани которых являются правильными многоугольниками, все одинаковы и одинаково смыкаются в каждой вершине. Тогда вместо бесконечного ряда решений мы получим ровно пять тел!

Илл. 5. Пять платоновых тел – волшебных фигур

Пять платоновых тел – это:

тетраэдр с четырьмя треугольными гранями и четырьмя вершинами, в каждой из которых сходится по три грани;

октаэдр с восемью треугольными гранями и шестью вершинами, в каждой из которых сходится по четыре грани;

икосаэдр с 20 треугольными гранями и 12 вершинами, в каждой из которых сходится по пять граней;

Додекаэдр с 20 пятиугольными гранями и 20 вершинами, в каждой из которых сходится по три грани;

Куб с шестью квадратными гранями и восемью вершинами, в каждой из которых сходится по три грани.

Существование этих пяти многогранников легко понять, без особых трудностей можно и сконструировать их модели. Но почему их только пять? (Или есть еще другие?)

Чтобы разобраться с этим вопросом, заметим, что вершины тетраэдра, октаэдра и икосаэдра объединяют три, четыре и пять треугольников, сходящихся вместе, и зададим вопрос: «Что произойдет, если мы продолжим и их будет шесть?» Тогда мы поймем, что шесть равносторонних треугольников, имеющих общую вершину, будут лежать на плоскости. Сколько ни повторяй этот плоский объект, он не позволит нам построить законченную фигуру, ограничивающую некий объем. Вместо этого фигура будет бесконечно распространяться по плоскости, как показано на илл. 6 (слева).

Илл. 6. Три бесконечных платоновы поверхности

На рисунке показаны только конечные их части. Эти три правильных замещения плоскости могут и должны восприниматься как родственные платоновым телам – их блудные братья, которые отправились в паломничество и никогда не вернутся.

Мы получим такие же результаты, если совместим четыре квадрата или три шестиугольника. Эти три правильные сечения на плоскости – достойные дополнения к платоновым телам. Далее мы увидим, как они воплощаются в жизнь в микромире (илл. 29).

Если мы попытаемся совместить более шести равносторонних треугольников, четырех квадратов или трех любых бо́льших правильных многоугольников, нам не хватит места и мы просто не сможем разместить вокруг вершины их суммарный угол. И поэтому пять платоновых тел – это все конечные правильные многогранники, которые могут существовать.

Знаменательно, что определенное конечное число – пять – появляется из соображений геометрической правильности и симметрии. Правильность и симметрия – это естественные и прекрасные вещи для размышления, но у них нет очевидной или прямой связи с определенными числами. Как мы увидим, Платон интерпретировал этот сложный случай их возникновения удивительно творческим образом.

Предыстория

Часто известным людям достается слава за открытия, сделанные другими. Это «эффект Матфея», обнаруженный социологом Робертом Мёртоном и основанный на строчках из Евангелия от Матфея:

Ибо каждому имеющему будет дано, и у него будет изобилие, а у неимеющего будет взято и то, что он имеет11
Евангелие от Матфея, 13:12. – Прим. пер.

Так случилось и с платоновыми телами.

В музее Ашмолин в Оксфордском университете12
Музей искусства и археологии в Оксфорде. – Прим. пер.

Можно увидеть стенд с пятью резными камнями, изготовленными примерно в 2000 г. до н. э. в Шотландии, которые кажутся реализациями пяти платоновых тел (хотя некоторые ученые и оспаривают это). По всей видимости, они использовались в какой-то игре с костями. Можно представить, как пещерные люди собирались вокруг общего костра и резались в «Подземелья и драконы» эпохи палеолита. Вполне возможно, что не Платон, а его современник Теэтет (417–369 гг. до н. э.) первым математически доказал, что это эти самые пять тел – единственные возможные правильные многогранники. Не ясно, в какой степени Платон вдохновил Теэтета или наоборот, или в воздухе античных Афин витало что-то такое, что вдохнули они оба. В любом случае платоновы тела получили свое название, потому что Платон оригинально использовал их в работе гения, одаренного творческим воображением, чтобы провидческим образом создать теорию физического мира.

Илл. 7. Доплатоновские изображения платоновых тел, которые, возможно, использовались в играх с костями около 2000 г. до н. э.

Заглянув в гораздо более далекое прошлое, мы понимаем, что некоторые простейшие создания биосферы, в том числе вирусы и диатомеи (не пары атомов, как можно было бы подумать из названия, а морские водоросли, которые часто отращивают вычурные панцири в виде платоновых тел), не только «открыли», но и буквально воплотили платоновы тела задолго до того, как на Земле появились первые люди. Вирус герпеса; вирус, который вызывает гепатит В; вирус иммунодефицита человека и вирусы многих других болезней имеют форму, напоминающую икосаэдр или додекаэдр. Они заключают свой генетический материал – ДНК или РНК – в белковые капсулы-экзоскелеты, которые определяют их внешние формы, как показано на цветной вклейке D. Капсулы маркированы цветом таким образом, что одинаковые цвета обозначают одинаковые «строительные блоки». В глаза бросается характерное для додекаэдра соединение трех пятиугольников. Но если провести прямые линии через центры синих областей, то мы увидим икосаэдр.

Более сложные микроскопические существа, в том числе радиолярии, которые любил изображать Эрнст Геккель в своей великолепной книге «Красота форм в природе», также воплощают в жизнь платоновы тела. На илл. 8 мы видим замысловатый кремниевый экзоскелет этих одноклеточных организмов. Радиолярии – древняя форма жизни, которую обнаруживают в самых ранних окаменелостях. Ими полны океаны и сегодня. Каждое из пяти платоновых тел воплощается в некотором количестве биологических видов живых организмов. В названиях некоторых из них даже закрепилась их форма, в том числе Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra и Circorrhegma dodecahedra .

Вдохновляющая идея Евклида

«Начала» Евклида являются величайшим учебником всех времен, и другие книги им в этом не чета. Эта книга принесла в геометрию систему и строгость. Если посмотреть более широко, она ввела в область идей – путем практического применения – метод анализа и синтеза.

Илл. 8. Радиолярии становятся видимыми под объективом самого простого микроскопа. Их экзоскелеты часто демонстрируют симметрию платоновых тел.

Анализ и Синтез являются предпочтительной формулировкой «редукционизма» для Исаака Ньютона и для нас тоже. Вот что говорит Ньютон:

Путем такого анализа мы можем переходить от соединений к ингредиентам, от движений – к силам, их производящим, и вообще от действий – к их причинам, от частных причин – к более общим, пока аргумент не закончится наиболее общей причиной. Таков метод анализа, синтез же предполагает причины открытыми и установленными в качестве принципов; он состоит в объяснении при помощи принципов явлений, происходящих от них, и доказательстве объяснений13
Цит. по: Ньютон И. Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. – М.-Л.: Госиздат, 1927. – С. 306.

Эту стратегию можно сравнить с подходом Евклида к геометрии, где он начинает с простых, интуитивно понятных аксиом, чтобы потом вывести из них более сложные и удивительные следствия. Великие «Математические начала» Ньютона, основополагающий документ современной математической физики, тоже следуют показательному стилю Евклида, пошагово переходя от аксиом при помощи логических построений к более значительным результатам.

Важно подчеркнуть, что аксиомы (или законы физики) не говорят вам, что с ними делать. Собирая их вместе без всякой цели, легко создать большое количество ничего не значащих фактов, о которых скоро забудут. Это как пьеса или музыкальный отрывок, которые бредут как неприкаянные и не приходят никуда. Как обнаружили те, кто пытался приспособить искусственный интеллект для решения творческих математических задач, самое трудное в этом деле – определить цели. Имея в голове стóящую цель, становится легче найти средства, чтобы достичь ее. Я люблю печенье с предсказаниями, и раз мне попалось самое удачное на свете печенье: изречение, которое я в нем нашел, великолепно подытоживает все сказанное:

Работа сама научит вас, как ее сделать.

И, конечно, для лучшего усвоения материала, для студентов и потенциальных читателей заманчиво иметь перед собой вдохновляющую цель. С самого начала на них производит глубокое впечатление понимание того, что они могут предвкушать ощущение удивительного трюка создания конструкции, которая неумолимо движется от «очевидных» аксиом к далеко не очевидным заключениям.

Итак, какова была цель Евклида в «Началах»? Тринадцатый и последний том этого шедевра завершается построением пяти платоновых тел и доказательством, почему их существует только пять. Мне приятно думать – тем более что это вполне правдоподобно, – что Евклид думал об этом заключении, когда начинал работать над всей книгой и пока писал ее. В любом случае это подходящее и приносящее чувство завершенности заключение.

Платоновы тела как атомы

Древние греки признавали в материальном мире четыре основные составляющие, или элемента: огонь, вода, земля и воздух. Вы, возможно, заметили, что количество элементов – четыре – близко к пяти, количеству правильных многогранников. Платон, разумеется, заметил! В его самом авторитетном, пророческом и непостижимом диалоге «Тимей» можно найти теорию элементов, основанную на многогранниках. Она состоит в следующем.

Каждый элемент состоит из атомов определенного вида. Атомы имеют форму платоновых тел: атомы огня – форму тетраэдра, атомы воды – икосаэдра, атомы земли – куба, атомы воздуха – октаэдра.

В этих утверждениях есть определенное правдоподобие. Они дают объяснения. Атомы огня имеют острую форму, что объясняет, почему прикосновение к огню болезненно. Атомы воды самые гладкие и круглые, поэтому они могут плавно обтекать друг друга. Атомы земли могут быть плотно прижаты друг к другу и заполняют пространство без пустот. Воздух, который может быть и горячим, и влажным, имеет промежуточную между огнем и водой форму атомов.

Хотя четыре и близко к пяти, но они не могут быть равны, поэтому полного совпадения между правильными многогранниками, рассмотренными как атомы, и элементами быть не может. Менее одаренный мыслитель был бы, возможно, обескуражен этой трудностью, но гениальный Платон не утратил присутствия духа. Он воспринял это как вызов и как возможность. Он предположил, что оставшийся правильный многогранник, додекаэдр, тоже сыграл свою роль в руках Творца-строителя, но не как атом. Нет, додекаэдр – это не просто какой-то атом, скорее, он повторяет форму самой Вселенной в целом.

Аристотель, который всегда старался превзойти Платона, предложил другую, более консервативную и последовательную теорию. Две главные идеи этих влиятельных философов состояли в том, что Луна, планеты и звезды, населяющие небесный свод, состоят из совершенно иной материи, чем та, которую мы можем найти в подлунном мире, и в том, что «природа не терпит пустоты»; таким образом, небесное пространство не могло быть пустым. Эти рассуждения требовали существования пятого элемента, или квинтэссенции, отличающейся от земли, огня, воды и воздуха, чтобы заполнить небесный свод. Так додекаэдр нашел свое место в качестве атома квинтэссенции или эфира.

Сегодня трудно согласиться с деталями обеих этих теорий. Науке нет никакой пользы от того, чтобы анализировать мир в терминах этих четырех (или пяти) элементов. В современном представлении атомы – вовсе не твердые тела, и уж подавно они не имеют форму платоновых тел. Теория элементов Платона с сегодняшней точки зрения выглядит грубой и во всех отношениях безнадежно неверной.

Структура из симметрии

Но хотя взгляды Платона провалились как научная теория, они были успешны как предсказание и, я бы сказал, как произведение интеллектуального искусства. Чтобы оценить концепцию в этом качестве, мы должны отойти от деталей и посмотреть на нее в целом. Глубинная, ключевая догадка в системе физического мира с точки зрения Платона состоит в том, что мир этот должен по большому счету воплощать в жизнь красивые понятия. И эта красота должна быть красотой особого рода: красотой математической правильности, идеальной симметрии. Для Платона, как и для Пифагора, эта догадка была в то же время верой, страстным желанием и основополагающим принципом. Они жаждали привести Разум в гармонию с Веществом, показав, что Вещество состоит из чистейших произведений Разума.

Важно подчеркнуть, что Платон поднялся в своих идеях над общепринятым уровнем философских обобщений своего времени, чтобы сделать определенные заявления о том, что же такое вещество. Его своеобразные, хотя и неправильные, идеи не попадают в позорную категорию «даже не ошибочно»14
Говорят, что знаменитый физик-теоретик Вольфганг Паули однажды раскритиковал беспомощную работу молодого ученого такими вошедшими в поговорку словами: «Это не просто неверно, это даже не дотягивает до ошибочного!» – Прим. пер.

Как мы уже видели, Платон даже сделал некоторые шаги в направлении сравнения этой теории с реальностью. Огонь обжигает, потому что у тетраэдра острые грани, вода течет, потому что икосаэдры легко перекатываются друг по другу, и т. д. В диалоге Платона «Тимей», где говорится обо всем этом, вы также найдете причудливые объяснения того, что мы бы назвали химическими реакциями и свойствами сложных (состоящих больше чем из одного элемента) веществ. Эти объяснения основаны на геометрии атомов. Но эти напрасно потраченные усилия удручающе далеки от того, что мы при всем желании могли бы считать серьезным экспериментальным доказательством научной теории и еще дальше от использования научных знаний для практических целей.

И все же взгляды Платона в нескольких направлениях предвосхищают современные идеи, находящиеся сегодня на переднем крае научного мышления.

Хотя строительные «кирпичики» материи, которые предложил Платон, совсем не те, которые мы знаем сегодня, сама идея о том, что есть лишь немногие строительные элементы, существующие в множестве одинаковых копий, остается основополагающей.

Но даже если не принимать во внимание эту смутную вдохновляющую идею, более специфический принцип построения теории Платона – выделение структуры из симметрии – оставил свой след в веках. Мы приходим к небольшому числу особых структур из чисто математических соображений – соображений симметрии – и преподносим их Природе как возможные элементы ее строения. Тот вид математической симметрии, который избрал Платон, чтобы составить свой список составляющих элементов, весьма отличен от симметрии, которую мы используем сегодня. Но идея о том, что в основе Природы лежит симметрия, стала доминировать в нашем восприятии физической реальности. Умозрительная идея о том, что симметрия определяет структуру – т. е. что кто-то может использовать высокие требования математического совершенства, чтобы прийти к небольшому перечню возможных реализаций, а потом воспользоваться этим списком как руководством по построению модели мира, – стала нашей путеводной звездой на границах неизведанного, не нанесенных ни на одну карту. Эта идея почти кощунственна в своем безрассудстве, поскольку провозглашает, что мы можем разобраться, как действовал Мастер и точно узнать, как все было сделано. И, как мы увидим далее, она оказалась совершенно правильной.

Для того чтобы обозначить Творца физического мира, Платон использовал слово «демиург». Буквальное его значение – «мастер»; обычно его переводят словом «создатель», что не совсем верно. Это греческое слово Платон подобрал очень тщательно. Оно отражало его веру в то, что физический мир не является окончательной реальностью. Есть также вечный и вневременной мир Идей, которые существуют до какого-либо, с необходимостью несовершенного, физического воплощения и независимо от него. Беспокойный творческий ум – Мастер или Создатель – отливает свои создания из идей, используя последние как формы.

«Тимей» – непростое для понимания произведение, и всегда остается соблазн принять неясность или ошибку за глубину. Осознавая это, я нахожу тем не менее интересным и вдохновляющим то, что Платон не останавливается на платоновых телах, но размышляет о том, что атомы в иных формах, подобно физическим объектам, в свою очередь могут быть составлены из более примитивных треугольников. Детали, конечно, «даже не ошибочны», но интуиция, призывающая рассмотреть модель серьезно, говорить на ее языке и раздвигать границы, в корне верна. Идея о том, что атомы могут иметь составные части, предвосхищает современное стремление анализировать все глубже и глубже. А идея о том, что эти составные части в нормальных условиях не могут существовать как отдельные объекты, а обнаруживаются только как части более сложных объектов, возможно, как раз и реализуется в сегодняшних кварках и глюонах, вечно связанных внутри атомных ядер.

Помимо всего прочего среди размышлений Платона мы найдем идею, которая является центральной в наших размышлениях, – идею о том, что мир в своей глубинной структуре воплощает Красоту. Это оживший дух умозаключений Платона. Он предполагает, что сама основа структуры мира – его атомы – это воплощения чистых идей, которые могут быть открыты и четко сформулированы одним лишь напряжением ума.

Экономия средств

Возвращаясь к вирусам: где же они научились своей геометрии?

Это тот случай, когда простота приобретает вид сложности или, если быть более точным, когда простые правила определяют строение кажущихся сложными структур, которые по зрелом размышлении становятся идеально простыми. Суть в том, что ДНК вирусов15
Не во всех вирусах генетический материал представлен в виде ДНК; есть и РНК-содержащие вирусы. – Прим. ред.

Которая должна нести в себе информацию обо всех аспектах их жизнедеятельности, очень ограничена в размерах. Чтобы сэкономить на длине строительного материала, стоит делать что-либо из простых идентичных частей, соединенных одинаковым образом. Мы уже слышали эту песню: «простые, идентичные части, одинаково соединенные» – и как раз в определении платоновых тел! Поскольку часть создает целое, вирусам не нужно знать о додекаэдрах или икосаэдрах, а только о треугольниках, да еще одно или два правила, чтобы соединить их вместе. Это только более разнородным, нерегулярным и на первый взгляд даже случайным телам – таким как люди – требуются более подробные сборочные инструкции. Симметрия появляется как структура по умолчанию, когда информация и ресурсы ограничены.

Пифагорейская школа мистерий, Платон и древние греки считали, что эти пять тел являются основными паттернами, стоящими за физическим мирозданием. Тем не менее, эти древние знания известны с незапамятных времен. Четыре тела - это архетипические паттерны, стоящие за четырьмя элементами всего мироздания: Земли, Огня, Воздуха и Воды. Пятый паттерн считался Универсальной Субстанцией мироздания, и в некоторых тайных школах его считали Пятым элементом - Эфиром. Пятое тело - это додекаэдр, и его использование в материальном мире тщательно скрывали, поскольку чувствовали опасность его неправильного применения. Мы точно знаем, что Негативная Инопланетная Программа, многие тайные общества и линии Иллюминатов неправильно использовали их как формы, лежащие в основе десяти реверсивных структур, помещенных в Землю в качестве матрицы Управление сознанием.

Это названо Реверсивными Сетями 55 и выражается формами додекаэдра, многие из которых связаны с реверсивной матрицей, используемой для служения Я сущностей. Таким образом, в нашей модели мы рассмотрим додекаэдр как элементную матрицу или субстанцию, используемую для формирования времени и пространства. Матрица может быть запрограммирована с различными углами преломления света, неорганически изгибающими время и пространство. Посредством Иерогамии происходит модернизация - Звезда Меркурий (Star of Azoth), с Кристальной Звезды, Семи Священных Солнц, содержащих компонент Космического Эфира. Этот пятый элемент усовершенствуется в шестой, поддерживающий нашу связь и общение в соответствии с Космическим Верховный Законом и под руководством Кристальной Звезды. Космический Эфир или Квинтэссенция Матери проявляется в любом геометрическом волновом паттерне и вдыхает жизнь в форму. Она создает потомство как множественные фрактальные паттерны спиралей, являющееся созданиями, рожденными в форме и материи. Платоновы тела упорядочены в фрактальных паттернах, сплетающих Морфогенетическое Поле в Проект, который в пространстве проявляет матрицу, связывающую атомы со Звездами в их астрономических паттернах. Хотя формы платонических тел различны, соотношения, структура и голографический рисунок подобны. Это соответствует Герметическому принципу «Что наверху, то и внизу».

Эти астрономические паттерны наблюдаются в ежегодном движении по эклиптике через созвездия Солнца, которое движется на протяжении многих тысяч лет в эволюционных циклах, называемых Прецессией Равноденствий. Вселенная движется и развивается по спирали. Все противоположные полярности растворяются, приходя по спирали в равновесие. Баланс между полярностями можно наблюдать в спиральном движении. Движение энергии по спирали имеет основной центр, в котором существует абсолютный ноль спирали, это нейтральный центр или центр покоя. Этот основной центр спирали сознания имеется у всех живых существ.

Пять Платоновых тел - это строительные блоки Священной Геометрии в сознании, имеющие одинаковые особенности:

Все грани имеют один и тот же размер

Все ребра имеют одинаковую длину

Все углы тела равны

Все тела можно вписать в сферу

Тетраэдр - первое платоново тело, четыре грани которого - правильные треугольники, представляет стихию огня. Оно связано с пересечением траекторий планет Юпитера и Марса, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Гексаэдр - второе Платоново тело, шесть граней которого - квадраты, символизирует стихию земли. Оно связано с пересечением траекторий планет Сатурна и Юпитера, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Октаэдр - третье Платоново тело, восемь граней которого - правильные треугольники, и оно представляет стихию воздуха. Это связано с пересечением траекторий планет Марса и Земли, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Додекаэдр - четвертое Платоново тело, двенадцать граней которого - правильные пятиугольники, представляет элемент времени и пространства, субстанцию, их которой строятся матрицы. Оно связано с пересечениями траекторий планет Земли и Венеры, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Икосаэдр - пятое Платоново тело, двадцать граней которого - равносторонние треугольники, символизирует стихию воды. Оно связано с пересечениями траекторий планет Венеры и Меркурия, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Единое поле сети

Платоновы тела - это геометрически сформированные композиции, которые организованы в различные группы, чтобы провести кодировку основы структуры сети. Сеть - общий термин, применяемый для объяснения множественных уровней Морфогенетического Поля, которые формируют Единое Поле живой субстанции, посредством которой все связано во Вселенной. Сеть представляет ткань, в которой уровни кристаллических проектов сплетаются в проявление, поддерживая форму и сознание. Энергия сети - это сама сущность и ткань Вселенной.

Геометрические формы - это кристаллические структуры, формирующие многомерные уровни форм сознания и материи. Они действуют как частотные строительные блоки и звуковые тоны, на основе которых формируются основные шаблоны тел. Геометрические формы - это то, что проецирует и расширяет формы сознания во времени и пространстве, а также возвращает тело Сознания в основной центр. Они закладывают геометрический фундамент всей материи, структур и биологии, которые воспринимают пространство и время во всем Космосе. Эти основные геометрические тела формируют электромагнитные поля, перемещаясь одновременно во многих измерениях, и управляют тем, как эти поля проявляют и строят материальные формы. Платоновы тела формируют кристаллическую матрицу электромагнитных полей и сознания, пронизывающую и связывающую все во Вселенной.

Священная геометрия

Основные геометрические формы Платоновых тел организованы в группы, из которых формируются более сложные наборы команд и геометрические коды. Все материальные формы и энергия сознания структурированы на основе этих основных групп и установок геометрического кодирования. Это определяет основную атомную структуру и генетику формы, ее характеристики и индивидуальность. Работа со Священной Геометрией - это работа с группами геометрических паттернов, обусловленных Платоновыми телами. Обратите внимание, что эти группы формируют определенное кодирование, направляющее световые и звуковые волны на формирование множественных выражений во многих измерениях одновременно. Эти геометрические коды удерживают основной шаблон проявления во всех отдельных формах. Они также поддерживают основную структуру, формирующую сознание внутри всех вещей во Вселенной. Свойства проявления форм могут быть изменены или адаптированы путем реконфигурации этих основных геометрических кодов.

Священная Геометрия содержит все инструкции и строительные блоки для Проектов всего мироздания, от непроявленных миров до проявленных, и является основой всех форм и Сознания. Священная Геометрия - это паттерн Сознания. На любом уровне, от кванта до огромных планетарных и астрономических тел, каждый паттерн роста, изменения или движения соответствует с математической точностью одному или более геометрическим формам. Священная Геометрия - это древняя метафизическая наука, изучающая математические паттерны, которые заложены в мироздании, и выясняющая точный способ, которым Вселенная организует сама себя. Священная Геометрия раскрывает основную связь, лежащую в основе всех вещей, в математической форме, посредством чисел и геометрии, доказывая скрытый порядок, стоящий за всем мирозданием, в Божественном Бесконечном Исчислении. Великое понимание, что «Бог - это математика», а Священная Геометрия - это язык Вселенной, стоящий за всеми формами мироздания, создает космологию единства, а не ощущение разделенности.

Постижение Священной Геометрии путем медитаций или созерцания важно для исследования природы, понимания цели и необходимости образования Души-Духа. Наш уникальный паттерн души держит математические паттерны и геометрические формы, предписывающие паттерн нашего сознания. Когда мы изучаем эти структуры сознания, мы получаем более глубокое понимание математических паттернов и кодов, открывающих символизм природы нашего отношения к самим себе, к Вселенной и Богу.

Все имеет паттерн, лежащий в основе проекта, являющийся ключом к созданию определенных событий и воздействующий на наше сознание или восприятие. Изучая естественные изменения и движения царств природы, геометрию, присущую природе, мы получаем богатую информацию о том, как природа работает. Все формы производят в соответствии с Гендерным Принципом Созидания. Все создано путем соединения принципов Матери и Отца.

Перевод:

Платоновы тела - это совокупность всех правильных многогранников, объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками, впервые описанных Платоном. Им также посвящена заключительная, XIII книга «Начал» Платонова ученика Евклида. При всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П. т., в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Платоновы тела

Знание о первоэлементах было доступно древним восточным культурам, таким как индийская и китайская. Платон, а также пифагорейцы, тщательно изучили философские, математические и магические аспекты правильных выпуклых многогранников. Согласно древним знаниям, каждый из этих многогранников соответствует определенной стихии мироздания (первоэлементу) и концентрирует ее энергию. Вершины многогранников излучают энергию, а центры граней поглощают. Ниже дана иллюстрация связи Платоновых тел и первоэлементов из книги Друнвало Мельхиседека "Древняя тайна цветка жизни" :

Далее рассмотрены энергетические характеристики многоугольников с точки зрения китайского учения «У-cин». Зная иньский или янский характер излучения многогранников, а также энергии их стихий, доктора китайской медицины могут оперировать ими как средствами, гармонизирующими энергию человека.

● Гексаэдр (куб) имеет 8 излучающих энергию точек-вершин и 6 граней, в которых происходит поглощение энергии. Так как излучающих точек больше, чем поглощающих, то в соответствии с китайским учением «У-Син» куб относится к мужскому принципу «Ян».

● У октаэдра существует 6 точек-вершин излучения и 8 граней поглощения. Следовательно, октаэдр поглощает больше энергии, чем излучает, поэтому он относится к женскому началу «Инь».

● Тетраэдр имеет 4 вершины и 4 грани, что приводит к равенству «Инь-Ян».

● У икосаэдра 12 вершин и 20 граней, имеющих вид правильных треугольников, поэтому он выражает принцип «Инь».

● Додекаэдр имеет 20 вершин и 12 граней и поэтому он выражает принцип «Ян». Его 12 граней имеют форму правильных пятиугольников.

Согласно Мельхиседеку, существует связь между Платоновыми телами из " Цветком жизни ", точнее, они сокрыты в Кубе Метатрона , который заложен в Цветке жизни. В этой статье я дам лишь немного информации из этой книги для ознакомления. Тема эта очень сложна и обширна, но если вы захотите её изучить подробно, книга "Древняя тайна цветка жизни" доступна в интернете.

Цветок жизни - это современное название геометрической фигуры, состоящей из нескольких расположенных равномерно, одинаковых окружностей, которые образуют рисунок с шестикратной симметрией, как у Гексагона (шестигранника). Это древнейший символ сакральной геометрии, известный многим древним культурам по всей Земле, изображающий, как полагают, основную форму существования пространства и времени:

Цветок жизни

Цветок жизни - двухмерное изображение - является символом, проекцией трёхмерной фигуры. И в этой трёхмерной фигуре сокрыт Куб Метатрона:

Куб Метатрона

Куб Метатрона, вписанный в Цветок жизни.

Куб Метатрона соответственно также является не плоской фигурой, а трёхмерным телом. Если соединить линиями все центры шаров Куба Метатрона, то эти линии будут гранями пяти Платоновых тел:

Тетраэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Куб, вписанный в Куб Метатрона.

Октаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Икосаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Додекаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Многогранники, двойственные архимедовым телам. Как и архимедовых тел, их 13. Ромбододекаэдр … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

Полуправильные многогранники в общем случае это различные выпуклые многогранники, имеющие определённые признаки правильных, такие как одинаковость всех граней или являемость всех граней правильными многоугольниками, а также пространственная … Википедия

Или Архимедовы тела выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник); Для любой пары… … Википедия

Тип Правильный многогранник Грань Правильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 … Википедия

Анимация Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Куб (значения). Куб Тип Правильный многогранник Грань квадрат … Википедия

Книги

• Сакральная геометрия, нумерология, музыка, космология, или КВАДРИВИУМ , Мартино Д., Ланди М. и др.. «Всюду познаешь, насколько возможно, единство природы»(«Золотые стихи» Пифагорейцев)«Мир (космос) был создан не для тебя – но ты для него»(Ямвлих, античный философ)Данная иллюстрированная…
• Волшебные грани, № 11, 2015 , . Создание моделей многогранников из картона очень увлекательное и доступное занятие, это "магия превращения" листа бумаги в объемную фигуру. Самые простые модели многогранников могут быть…