Тема: «Моделирование зависимостей между величинами. Виды зависимостей между случайными величинами

Регрессионного анализа

Обработка результатов эксперимента методом

При изучении процессов функционирования сложных систем приходится иметь дело с целым рядом одновременно действующих случайных величин. Для уяснения механизма явлений, причинно-следственных связей между элементами системы и т.д., по полученным наблюдениям мы пытаемся установить взаимоотношения этих величин.

В математическом анализе зависимость, например, между двумя величинами выражается понятием функции

где каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой. Такая зависимость носит название функциональной .

Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных величин. Как правило, между случайными величинами (случайными факторами), определяющими процесс функционирования сложных систем, обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохастической , или вероятностной . При этом величину изменения случайного фактора Y , соответствующую изменению величины Х , можно разбить на два компонента. Первый связан с зависимостью Y от X , а второй с влиянием "собственных" случайных составляющих величин Y и X . Если первый компонент отсутствует, то случайные величины Y и X являются независимыми. Если отсутствует второй компонент, то Y и X зависят функционально. При наличии обоих компонент соотношение между ними определяет силу или тесноту связи между случайными величинами Y и X .

Существуют различные показатели, которые характеризуют те или иные стороны стохастической связи. Так, линейную зависимость между случайными величинами X и Y определяет коэффициент корреляции.

где – математические ожидания случайных величин X и Y .

– средние квадратические отклонения случайных величин X и Y .

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины X и Y связаны строгой линейной функциональной зависимостью, например,

y=b 0 +b 1 x 1 ,

то коэффициент корреляции будет равен ; причем знак соответствует знаку коэффициента b 1 .Если величины X и Y связаны произвольной стохастической зависимостью, то коэффициент корреляции будет изменяться в пределах

Следует подчеркнуть, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Однако коэффициент корреляции как показатель зависимости между случайными величинами обладает серьезными недостатками. Во-первых, из равенства r = 0 не следует независимость случайных величин X и Y (за исключением случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения, для которых r = 0 означает одновременно и отсутствие всякой зависимости). Во- вторых, крайние значения также не очень полезны, так как соответствуют не всякой функциональной зависимости, а только строго линейной.

Полное описание зависимости Y от X , и притом выраженное в точных функциональных соотношениях, можно получить, зная условную функцию распределения .

Следует отметить, что при этом одна из наблюдаемых переменных величин считается неслучайной. Фиксируя одновременно значения двух случайных величин X и Y , мы при сопоставлении их значений можем отнести все ошибки лишь к величине Y . Таким образом, ошибка наблюдения будет складываться из собственной случайной ошибки величины Y и из ошибки сопоставления, возникающей из-за того, что с величиной Y сопоставляется не совсем то значение X , которое имело место на самом деле.

Однако отыскание условной функции распределения, как правило, оказывается весьма сложной задачей. Наиболее просто исследовать зависимость между Х и Y при нормальном распределении Y , так как оно полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. В этом случае для описания зависимости Y от X не нужно строить условную функцию распределения, а достаточно лишь указать, как при изменении параметра X изменяются математическое ожидание и дисперсия величины Y .

Таким образом, мы приходим к необходимости отыскания только двух функций:

(3.2)

Зависимость условной дисперсии D от параметра Х носит название сходастической зависимости. Она характеризует изменение точности методики наблюдений при изменении параметра и используется достаточно редко.

Зависимость условного математического ожидания M от X носит название регрессии , она дает истинную зависимость величин Х и У , лишенную всех случайных наслоений. Поэтому идеальной целью всяких исследований зависимых величин является отыскание уравнения регрессии, а дисперсия используется лишь для оценки точности полученного результата.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

• Величина
• Характеристики величины: имя, тип, значение
• Функциональные и иные виды зависимостей
• Математические модели
• Динамические модели

Ключевые понятия

Применение математического моделирования

Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.

Примеры зависимостей:

• время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
• давление газа в баллоне зависит от его температуры;
• уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.

Реализация математической модели требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Методы представления зависимостей

Величина – количественная характеристика исследуемого объекта

Характеристики величины

отражает смысл величины

определяет возможные значения величины

Значение

константа

переменная

Основные типы величин:

Пример константы – число Пифагора

Имя величины может быть

смысловым

смысловым

числовой

«давление газа»

В описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t

символьный

символическим

логический

Виды зависимостей

Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.

Пример 1: t (c) – время падения; H (m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.

Пример 2: P (н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °C – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.

определенной .

Виды зависимостей

Иная зависимость носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели.

Пример 3: Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P (бол./тыс.)

Зависимость между величинами является полностью определенной .

Математические модели

Математические модели - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул:

Линейная зависимость

Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты)

В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений.

Табличные и графические модели

Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела

Эксперимент: стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения

Результат эксперимента представлен в таблице и графике

Н , м

t , c

Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Динамические модели

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели .

В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных,

в химии – протекание химических реакций.

Самое основное

• Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
• Характеристики величины:

Имя – отражает смысл величины

Тип – определяет возможные значения величин

Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
• Существует три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический
• Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
• Описание развития систем во времени – динамическая модель.

Вопросы и задания

• Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
• Что такое математическая модель?
• Может ли математическая модель включать в себя только константы?
• Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками какого-то объекта или процесса.
• Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
• Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры в виде табличной и графической модели, если известно, что при температуре 27 °С давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа.

• Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 10-11 классов / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер. – 7-е изд. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 246. : ил.

Иллюстрации:

Источники

• http://1.bp.blogspot.com/-u7m70qcqIdw/Ukh9R4Ga-9I/AAAAAAAAEkk/wIqkfCqOgGo/s1600/%25D0%2593%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25B8%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BE.gif
• http://ehsdailyadvisor.blr.com/wpcontent/uploads/2015/11/EHSDA_110615.jpg
• http://himki.blizhe.ru/userfiles/Image/MIL-GRAFIK/dop-photo/PRIMESI.JPG
• http://f.10-bal.ru/pars_docs/refs/12/11350/11350_html_mbb50c21.jpg

>>Информатика: Представление зависимостей между величинами

Представление зависимостей между величинами

Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.

Примеры зависимостей :

1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2) давление зависит от температуры газа в баллоне;

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функции пильной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально температуре).

В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.

Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического.

Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом; бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график.

"
Рис. 2.11. Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то она превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то данная модель будет меньше соответствовать формуле, а если надувной шарик, то совсем не будет соответствовать - как вы думаете, почему?)

В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.

Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.

Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами - законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежит в основе современной техники.

Коротко о главном

Величина - некоторая количественная характеристика объекта.

Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.

Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.

Вопросы и задания

1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?

б) Что такое математическая модель?

в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?

2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.

3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.

Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 11

Отослано читателями из интернет-сайтов

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Предмет: математика
Класс: 4
Тема урока: Зависимости между скоростью, длиной пройденного пути и временем
движения.
Цель: выявить и обосновать зависимости между величинами: скорость, время,
расстояние;
Задачи: способствовать развитию нестандартного мышления, умение делать выводы,
рассуждать; содействовать воспитанию познавательной активности.
Оборудование: индивидуальные карточки разных цветов, критерии оценивания,
карточка для рефлексии, круги двух цветов.
Ход урока.
1. Орг.момент.
Карточка двух цветов: желтая и синяя. Показать с помощью карточки свое настроение
в начале и конце урока.
Заполнение карточки на начало урока (Приложение 1.)
№ Утверждение
Конец урока
Начало урока
Да
Нет
Не знаю Да
Нет Не
знаю
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
2. Повторение.
­ Как найти скорость? Время? Расстояние?
­ Назовите единицы измерения величины скорости, расстояние, время.
3. Сообщение темы урока.
­ Чему будем учиться на уроке?
4. Работа в группе.
­ Соединить объекты движения (Приложение 2)
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч

Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Проверка работ.
5. Математическая головоломка(самостоятельная работа)
­ Во сколько скорость велосипедиста меньше скорости поезда?
­ На сколько км скорость лыжника больше скорости пешехода?
­ Во сколько раз скорость автомобиля меньше скорости реактивного самолета?
­ Найди общую скорость самого скоростного движущегося средства и самого
медленного.
­ Найди общую скорость поезда велосипедиста и лыжника.
6. Самопроверка работ по критериям.
7. Физминутка.
Красный цвет квадрата­ стоим
Зеленый – идем
Желтый – хлопаем 1 раз в ладоши
8. Работа в группе. (Карточка желтого цвета) (метод Джегсо)
Задача.
Две бабы­яги поспорили, что быстроходнее ступа или помело? Одну и ту же
дистанцию в 228км баба­яга в ступе пролетела за 4ч, а баба­яга на помеле за 3ч. Что
больше, скорость ступы или помела?
9. Работа в паре «Эксперимент».
Придумать задачу на движение, используя величины: 18км/ч, 4ч, 24 км, 3ч.
Проверка работ.
10. Тест.
1.Записать формулу нахождения скорости.
2. Записать формулу нахождения времени.
3. Как найти расстояние? Запиши формулу.
4. Запиши 8 км/мин в км/ч
5. Найди время, за которое пройдет пешеход 42 км, двигаясь со скоростью 5км/ч.
6. Какое расстояние пройдет пешеход, двигаясь со скоростью 5км/ч в течение 6 часов?
11. Итог урока.
Заполнить таблицу, с какими результатами мы пришли к концу урока.
Показать карточку, которая соответствует вашему настроению.

Начало урока
Да
Нет
Приложение 1.
Конец урока
Не знаю Да
№ Утверждение
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
Соединить объекты движения.
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч
Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Нет Не
знаю
Приложение 2.