Преобразование в многочлен онлайн. Быстрое умножение многочленов при помощи преобразования Фурье — это просто
Цель урока: систематизировать знания и умения учащихся применять формулы квадрата разности, суммы и разности квадратов для преобразования многочленов.
Задачи урока:
- общеобразовательная: отработка навыков и умений по преобразованию многочленов с помощью формул сокращенного умножения посредством решения письменных и устных упражнений;
- развивающая: развивать познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;
- воспитательная: воспитывать умение выслушивать других и умение общаться.
Мотивационная задача: создать ситуацию успеха на уроке через похвалу, стимулирование слабых и сильных ответов.
Организационные формы общения: коллективная, групповая, индивидуальная.
Ход урока
1-й этап. Организационный момент.
2-й этап. Мотивационная беседа с учащимися с последующей постановкой цели и темы.
Учитель: Ребята, последние несколько уроков мы с вами посвятили изучению трех формул сокращенного умножения. Какие это формулы?
Впереди у нас еще четыре формулы.
Но сегодня я предлагаю вам поработать с этими формулами и еще раз выяснить, насколько хорошо вы разобрались в данной теме.
А начать работу я хотела бы со строк мудрого Конфуция:
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий и
Путь опыта – это путь самый горький.
Подумайте и решите для себя, ребята, по какому пути вы пойдете сегодня на уроке – это будет ваш личный выбор.
3-й этап. Актуализация опорных знаний.
Учитель: чтобы работа велась успешнее, давайте вспомним и повторим формулы квадрата суммы, разности двух чисел, разности квадратов.
Попрошу выйти к доске двоих учащихся.
Попрошу выйти к доске двух учащихся.
Задание первому ученику: доказать равенство Диофанта
(а + b)(с + d) = (ac + ab)+(bc – ad).
Задание второму ученику: оформить опорную таблицу (магнитная доска).
Собрать из отдельных фрагментов три формулы:
(a + b) 2 = a + 2ab + b
(a – b) 2 = a – 2ab + b
a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)
Фронтальная работа с учащимися.
Учитель: А мы, ребята, в это время давайте повторим правила сложения и вычитания рациональных чисел, т. к. это нам понадобится в дальнейшем на уроке.
Карточка:
-/10+5/ -5;
-/(-a +b)/ + b;
-/20*3/: (-12).
Учитель: Ребята, давайте проверим формулы на магнитной доске.
А теперь, применяя данные формулы, выполните устно следующие задания.
Замените * одночленами так, чтобы полученное равенство было тождеством:
- (* + b) 2 = 4c 2 + * + b 2 ;
- (k – *) 2 = * – * + c 2 ;
- (* + 7c) (7c – *) = 49c 2 – 81a 2
- Вычислить:
106 2 – 6 2
71 2 – 61 2 - А в следующем задании нужно проверить, правильно ли выделен полный
квадрат:
а 2 + 2а + 2 = (а + 1) 2 + 2
Учитель : Ребята давайте вернемся к доказательству равенства Диофанта и проверим его.
Предлагаю вам записать себе в тетрадь это равенство и проверить его для первых четырех последовательных чисел _(1.2.3.4).
4-й этап. Работа по теме урока.
Учитель: Ребята, чем воспользовался ученик, доказывающий равенство Диофанта?
А где еще находят применение формулы сокращенного умножения?
Давайте решим следующую задачу у доски.
Сторона квадрата равна а см. Длина прямоугольника на 2 см больше стороны квадрата, а ширина на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь прямоугольника и сравните ее с площадью квадрата.
5-й этап. Физкультминутка.
6-й этап. Работа в группах “Звездная карта”.
Учитель: Итак, ребята, раз сегодня мы упомянули ли о Диофанте (доказали его равенство), вспомните, чем он занимался в основном? (Уравнениями).
Хорошо! Я предлагаю сейчас вам тоже решить в группах по 5 уравнений, в которых можно будет применить формулы сокращенного умножения, а также просветить себя в области астрономии, то есть узнать, как выглядят созвездия Цефея и Кассиопеи.
Послушайте задание.
Перед вами, ребята, фрагмент карты звездного неба. Решите уравнения и соедините последовательно звезды, которым соответствуют найденные ответы.
Работа ведется в группах, поэтому возможна взаимопомощь и взаимоконтроль.
Карточки на столе. Против каждого уравнения указан уровень сложности (1, 2, 3, 4). Каждый из нас выбирает свой уровень, решает уравнение и заносит в карточку ответ.
Затем рисуется созвездие.
|
|
Проверка по образцу.
7-й этап. Резерв (тест)
Провести классификацию данных многочленов по способу разложения их на множители.
Вариант 1.
ЗАДАНИЕ. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
Взаимопроверка.
8-й этап. Итоги урока.
Учитель: Ребята, вы сегодня достаточно плодотворно поработали. Благодарю вас.
Но мне хотелось, чтобы вы еще раз, вспомнив этапы нашего урока, ответили на мой вопрос: где вы применяли формулы сокращенного умножения, в каком случае работа ваша намного упрощалась?
Впереди у вас еще 4 формулы. Но это будет позже, а сейчас получите домашнее задание (номера из учебника).
И в заключении, вернитесь к нашему эпиграфу. Скажите, какой для вас путь был более успешным?
Конечно, путь опыта, проб и ошибок – это самый трудный путь, но и самый верный и достойный.
Поэтому я желаю вам идти достойно и получать лишь хорошие и отличные оценки.
Оценки за урок.
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
«Совершенствование вычислительных навыков» - Состав числа. Повторение действий. Умножение. Сложение. Правила раскрытия скобок. Cложение отрицательных чисел. Вычитание. Сложение обыкновенных дробей. Сложение чисел с разными знаками. Совершенствование вычислительных навыков. Вычитание однозначного числа. Опорная схема. Действие в столбик. Умножение одночлена на многочлен.
«Разность квадратов чисел» - Возведите в квадрат. Формула сокращенного умножения. Разность квадратов двух выражений. Работа с таблицей. Разность квадратов. Геометрический смысл формулы. Как можно прочитать формулу. Выполните умножение. Влияет ли порядок записи скобок на результат. Формула (а+b)(a-b)=a2-b2. Произведение разности двух выражений и их суммы.
«Умножение многочлена на многочлен» - Правило умножения многочлена на многочлен. Игра «Открой картинку». Открой картинку. Каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена. Рассмотрим произведение самых простых многочленов, а именно двучленов. У одного многочлена m членов, а у другого n членов. План урока.
«Разложение многочлена на множители» - Предварительное преобразование. Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Применение формул сокращенного умножения. Метод выделения полного квадрата. Тестор. Ответы: Схема урока: Конфуций. Формулы сокращенного умножения. Способ группировки.
«Преобразование целого выражения в многочлен» - Какие из выражений являются целыми: Примерами целых выражений служат такие выражения: Цели урока: Упражнять учащихся в приведении подобных слагаемых. Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Развивать вычислительные навыки учащихся. Ввести понятие целого выражения. Преобразование целых выражений.
«Урок Формулы сокращённого умножения» - Цель урока: Повторить и обобщить практические навыки и умения по теме «Формулы сокращённого умножения». Тема урока: ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. Подготовиться к предстоящей контрольной работе. Задача: Стороны первого квадрата на 1 см больше сторон второго квадрата, а площадь первого квадрата на 9см2 больше площади второго квадрата.
Всего в теме 24 презентации
Важно a , b , …, z /
Примеры упрощаемых выражений
- 2*a -7*a
- exp(-7*a)/exp(2*a)
- 1/x + 1/y
- sin(x)^2 + cos(x)^2
Правила ввода функций
В функции f Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Функция f absolute(x) x (модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) x arcsin(x) Функция — арксинус от x arcsinh(x) x arctan(x) Функция — арктангенс от x arctanh(x) x e Функция — e exp(x) Функция — экспонента от x (тоже самое, что и e ^x ) floor(x) Функция — округление x log(x) or ln(x) x (Чтобы получить log7(x) log10(x) =log(x)/log(10)) pi sign(x) Функция — Знак x sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) x cosh(x) x sqrt(x) Функция — Корень из от x x^2 Функция — Квадрат x tan(x) Функция — Тангенс от x tanh(x) x
Решение уравнений многочлена
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.
Так же читайте нашу статью "Решить квадратичное уравнение онлайн"
Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \ Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \ Вы упростили многочлен.
В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.
Решение задач по математике онлайн
Разложите на множители многочлен \ Вынесите за скобки \ т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \ Отсюда: \
Где можно решить уравнение многочлена онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Преобразование выражений. Коротко о главном.
Упрощение выражений
Шаг 1. Введите выражение для упрощения
Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)
Важно В выражения переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a , b , …, z /
Примеры упрощаемых выражений
- 2*a -7*a
- exp(-7*a)/exp(2*a)
- 1/x + 1/y
- sin(x)^2 + cos(x)^2
Правила ввода функций
В функции f можно делать следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Функция — абсолютное значение x (модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Функция — арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Функция — арксинус от x arcsinh(x) Функция — арксинус гиперболический от x arctan(x) Функция — арктангенс от x arctanh(x) Функция — арктангенс гиперболический от x e Функция — e это то, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (тоже самое, что и e ^x ) floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x) Функция — Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sign(x) Функция — Знак x sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — Корень из от x x^2 Функция — Квадрат x tan(x) Функция — Тангенс от x tanh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x
На главную
Школьная алгебра
Многочлены
Понятие многочлена
Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль - это нулевой многочлен.
Стандартный вид многочлена
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
Ещё пример:
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
Степень многочлена
Что такое степень многочлена?
Степень многочлена определение:
Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a2h3s4 +1? Степень многочлена 5a2h3s4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a2h3s4, а его степень равна 9-ти.
Решение уравнений многочлена
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.
Многочленом именуется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Трудиться с ним комфортнее, потому что почаще каждого реформирование выражения в многочлен дозволяет гораздо упростить его.
Инструкция
1. Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, скажем, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, либо их сложно применить к данному выражению, раскрывайте скобки ступенчато. Для этого умножайте 1-й член первого выражения на весь член второго выражения, после этого 2-й член первого выражения на весь член второго и т.д. В итоге все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.
2. Если перед вами три выражения в скобках, вначале перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив итог, получившийся в итоге реформирования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.
3. Наблюдательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (скажем, оба правильны либо оба негативны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не позабудьте перенести его на произведение.
4. Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Скажем, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.
5. Когда все одночлены будут стандартизированы, испробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых идентична часть с переменными, скажем, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.
6. Обратите внимание на присутствие параметров в выражении. Изредка облегчение многочлена нужно изготавливать так, словно параметр является числом.
7. Дабы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Скажем, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, после этого уберите знак корня совместно с четной степенью. Если избавиться от знака корня нереально, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.
Краткость, как говорится, – сестра дара. Всякому хочется блеснуть даром, но вот его сестра – штука трудная. Феноменальные мысли отчего-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со большинством деепричастных циклов. Впрочем в ваших силах упростить свои предложения и сделать их внятными и доступными каждым.
Инструкция
1. Дабы облегчить адресату (будь то слушатель либо читатель) жизнь, постарайтесь заменять причастные и деепричастные циклы короткими придаточными предложениями, исключительно если вышеуказанных циклов слишком много в одном предложении. “Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к владельцу, пытаясь заглянуть ему в глаза, веря выпросить рыбу, принесённую из магазина” – такое не пойдёт. Разбейте сходственную конструкцию на несколько частей, не спешите и не пытайтесь сказать всё одним предложением, и будет вам блаженство.
2. Если вы замыслили талантливое высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем больше с одним союзом), то отменнее разбить высказывание на несколько отдельных предложений либо опустить какой-то элемент. “Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что…” – дозволено продолжать беспредельно. Своевременно остановитесь и припомните о том человеке, кто будет это читать либо выслушивать.
3. Впрочем подводные камни кроются не только в структуре предложения. Обратите внимание на лексику. Иноязычные слова, длинные термины, слова, почерпнутые из художественной литературы 19 столетия – всё это только осложнит воспринятие. Нужно уточнить для себя, для какой аудитории вы составляете текст: технари, финально, осознают и трудные термины, и специфические слова; но если вы те же слова предложите учительнице литературы, вряд ли она вас поймёт.
4. Дар – великая вещь. Если вы гениальны (а людей без способностей не бывает), перед вами открывается уйма дорог. Но дар состоит не в трудности, а простоте, как ни необычно. Будьте проще, и ваши дары будут внятны и доступны каждом.
Видео по теме
Даже самое трудное уравнение перестает выглядеть пугающим, если привести его к виду, с которым вы теснее сталкивались. Особенно простым методом, тот, что спасает в всякий обстановки, является приведение многочленов к стандартному виду. Это начальная точка, из которой вы можете двигаться дальше к решению.
Вам понадобится
- лист бумаги
- цветные ручки
Инструкция
1. Запомните стандартную форму многочлена, дабы знать, что вы обязаны получить в итоге. Важность имеет даже порядок записи: первыми обязаны стоять члены с большей степенью. Помимо того, принято сперва записывать незнакомые, обозначенные буквами, стоящими в начале алфавита.
2. Запишите начальный многочлен и приступайте к поиску сходственных слагаемых. Это члены данного вам уравнения, имеющие идентичную буквенную часть либо (и) цифровую. Для большей наглядности подчеркивайте обнаруженные пары. Обратите внимание, что подобие не обозначает идентичность, – основное, дабы один член пары содержал в себе 2-й. Так, сходственными будут члены ху, хy2z и хуz, – они имеют всеобщую часть в виде произведения х и у. Это же относится и к степенным выражениям.
3. Обозначайте различные сходственные члены по-различному. Для этого класснее подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.
4. Обнаружив все сходственные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в обнаруженных парах вынесите сходственные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет сходственных членов.
5. Проверьте, не осталось ли у вас идентичных элементов в записи. В ряде случаев у вас могут опять возникнуть сходственные члены. Повторите операцию с их комбинированием.
6. Проследите за выполнением второго данные, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: весь его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная либо переменны, следующие в теснее обозначенном порядке. При этом приоритет имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не отвечают требованиям.
Видео по теме
Математическая наука постигает разные конструкции, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым дозволено отчетливо описать приближенные к безупречным свойства реальных объектов, постигаемых в иных областях науки. Одной из таких конструкций является многочлен.
Инструкция
1. Многочлен либо полином (от греч. «поли» – много и лат. «номен» – имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные показатели, x – переменная.
2. Многочлены используются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, негативных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Применение полиномиальных вычислений гораздо упрощает выражение свойств различных объектов.
3. Основные определения многочлена: Каждое слагаемое полинома именуется одночленом либо мономом. Многочлен, состоящий из 2-х одночленов, называют двучленом либо биномом. Коэффициенты полинома – вещественные либо комплексные числа. Если старший показатель равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным). Степени переменной в всяком одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью именуется целое число, равное сумме всех степеней. Одночлен, соответствующий нулевой степени, именуется свободным членом. Многочлен, все одночлены которого имеют идентичную полную степень, именуется однородным.
4. Некоторые зачастую используемые многочлены названы по фамилии ученого, тот, что их определил, а также описал функции, которые они задают. Скажем, Бином Ньютона – это формула для разложения полинома 2-х переменных на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это знаменитые из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).
5. Если допустить в записи многочлена негативные степени, то получится многочлен либо ряд Лорана; многочлен Чебышева применяется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.
Обратите внимание!
Бином Ньютона зачастую упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Данный термин на слуху, следственно считается самым вестимым многочленом.
Реформирование выражений почаще каждого производится с целью их облегчения. Для этого применяются особые соотношения, а также правила сокращения и приведения сходственных.
Вам понадобится
- – действия с дробями;
- – формулы сокращенного умножения;
- – калькулятор.
Инструкция
1. Простейшим реформированием является приведение сходственных. Если есть несколько слагаемых, которые представляют собой одночлены с идентичными сомножителями, показатель при них дозволено сложить, с учетом знаков, которые стоят перед этими показателями. Скажем, выражение 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Если же идентичные сомножители имеют различные степени, сходственным образом свести сходственные не допустимо. Группируйте только те показатели, которые имеют при себе сомножители с идентичными степенями. Скажем, упростите выражение 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
3. Если есть такая вероятность, используйте формулы сокращенного умножения. К особенно знаменитым относятся куб и квадрат суммы либо разности 2-х чисел. Они представляют собой частный случай бинома Ньютона. К формулам сокращенного умножения также относят разность квадратов 2-х чисел. Скажем, дабы обнаружить значения выражения 625-1150+529=(25-23)?=4. Либо 1296-576=(36+24) (36-24)=720.
4. Когда необходимо преобразовать выражение , которое представляет собой естественную дробь, выделите из числителя и знаменателя всеобщий множитель и сократите на него числитель и знаменатель. Скажем, сократите дробь 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Для этого преобразуйте ее в вид 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Сократите это выражение на 3 (a+b), получите 1/(4 (a-b)).
5. Преобразовывая тригонометрические выражения, используйте вестимые тригонометрические тождества. К ним относится основное тождество sin?(x)+cos?(x)=1, а также формулы тангенса и его соотношения с котангенсом sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x). Формулы суммы разности доводов, а также кратного довода. Скажем, преобразуйте выражение (cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tg(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4. Такое выражение рассчитать гораздо легче.
Процедура реформирования формул используется в всякий науке, использующей формальный язык математики. Формулы состоят из особых символов, связанных между собой по определенным правилам.
Вам понадобится
- Знание правил математических тождественных реформирований, таблица математических тождеств.
Инструкция
1. Исследуйте выражение на присутствие дробей. Числитель и знаменатель дроби дозволено умножить либо поделить на одно и то же выражение, избавившись от знаменателя. В случае реформирования уравнения, проверьте, нет ли в знаменателях переменных. Если есть – добавьте условие, что выражение знаменателя не равно нулю. Из этого данные выделите недопустимые значения переменных, то есть ограничения в области определения.
2. Примените правила действий со степенями для идентичных оснований. В итоге уменьшится число слагаемых.
3. Перенесите слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, не содержащие – в иную. К всякой части уравнения применяйте математические тождества для облегчения.
4. Сгруппируйте однородные слагаемые. Для этого вынесите всеобщую переменную за скобки, внутри которых запишите сумму показателей с учетом знаков. Степень той же самой переменной рассматривается как иная переменная.
5. Проверьте, нет ли в формуле образцов тождественных реформирований многочленов. Скажем, нет ли в правой либо левой части формулы разности квадратов, суммы кубов, квадрата разности, квадрата суммы и др. Если есть, то взамен обнаруженного образца подставьте его упрощенный аналог и опять испробуйте произвести группировку слагаемых.
6. В случае реформирования тригонометрических уравнений, неравенств либо легко выражений обнаружьте в них образцы тригонометрических тождеств и примените способ замены части выражения тождественным ему упрощенным выражением. Такое реформирование разрешает избавиться от лишних синусов либо косинусов.
7. Для реформирования углов в всеобщем виде либо в радианной форме воспользуйтесь формулами приведения. Позже реформирования вычислите значение двойного угла либо половинного угла в зависимости от числа пи.