Невероятные фигуры. Проект "невозможные фигуры"

Рисунок 1.

Это невозможный трибар. Данный рисунок не является иллюстрацией пространственного объекта, поскольку такой объект не может существовать. Наш ГЛАЗ принимает данный факт и сам объект без затруднений. Мы можем придумать ряд аргументов в защиту невозможности объектаю Например, грань C лежит в горизонтальной плоскости, в то время как грань A наклонена к нам, а грань B, наклонена от нас, и, если грани A и B расходятся друг от друга, они не могут встретиться в вершине фигуры, как это мы видим в данном случае. Мы можем отметить, что трибар образует замкнутый треугольник, все три балки перпендикулярны друг другу, и сумма его внутренних углов получается равной 270 градусам, что невозможно. Мы можем привлечь на помощь базовые принципы стереометрии, а именно то, что три непараллельные плоскости всегда встречаются в одной точке. Однако, на рисунке 1 мы видим следующее:

• Темно-серая плоскость C встречается с плоскостью B; линия пересечения – l ;
• Темно-серая плоскость C встречается со светло-серой плоскостью A; линия пересечения - m ;
• Белая плоскость B встречается со светло-серой плоскость A; линия пересечения – n ;
• Линии пересечения l , m , n пересекаются в трех разных точках.

Таким образом, рассматриваемая фигура не удовлетворяет одному из основных утверждений стереометрии, что три непараллельные плоскости (в данном случае A, B, C) должны встретиться в одной точке.

Резюмируем: какими бы ни были сложными или простымии ни были наши рассуждения, ГЛАЗ сигнализирует нам о противоречиях без каких-либо объяснений с его стороны.

Невозможный трибар парадоксален в нескольких отношениях. Глазу требуется доля секунды, чтобы передать сообщение: "Это замкнутый объект, состоящий из трех брусков". Мгновение спустя следует: "Этот объект не может существовать...". Третье сообщение может быть прочитано как: "... и, таким образом, первое впечатление было неверным". В теории такой объект должен распадаться на множество линий, не имеющих значимых отношений друг с другом и более не собирающихся в форму трибара. Однако этого не происходит, и ГЛАЗ сигнализирует снова: "Это объект, трибар". Короче говоря, заключение состоит в том, что это и объект и не объект, и в этом состоит первый парадокс. Обе интерпретации имеют одинаковую силу, как если бы ГЛАЗ оставил окончательный вердикт вышестоящей инстанции.

Вторая парадоксальная особенность невозможного трибара возникает из рассуждений о его конструкции. Если брусок A направлен к нам, а брусок B - от нас, и все же они стыкуются, то угол, который они формируют должен лежать в двух местах одновременно, один ближе к наблюдателю, а другой дальше. (То же самое применимо и к двух другим углам, так как объект остается идентичной формы при поворе другим углом вверх.)

Рисунок 2. Бруно Эрнст, фотография невозможного трибара, 1985
Рисунок 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", холст/масло, 100x140 см, 1985, напечатано наоборот
Рисунок 4. Дирк Хуизер, "Куб", irisated screenprint, 48x48 см, 1984

Реальность невозможных объектов

Один из самых трудных вопросов о невозможных фигурах касается их реальности: существуют ли они на самом деле или нет? Естественно, рисунок невозможного трибара существует, и это не подвергается сомнению. Однако, в то же время не вызывает сомнений, что представленная ГЛАЗом для нас трехмерная форма, как таковая, не существует в окружающем мире. По этой причине, мы решили говорить о невозможных объектах , а не о невозможных фигурах (хотя, под таким названием на английском языке они больше известны). Кажется, это удовлетворительное решение данной дилеммы. И все же, когда мы, например, исследуем внимательно невозможный трибар, его пространственная реальность продолжает смущать нас.

Столкнувшись с объектом в разобранном на отдельные части виде, практически невозможно поверить, что, просто соединяя друг другом бруски и кубики, можно получить желаемый невозможный трибар.

Рисунок 3 особенно привлекателен для специалистов по кристаллографии. Объект представляется медленно растущим кристаллом, кубы вставляются в имеющуюся кристаллическую решетку без нарушения общей структуры.

Фотография на рисунке 2 – реальна, хотя трибар, составленный из коробок для сигар и сфотографированный под определенным углом, – нереален. Это визуальная шутка, придуманная Роджером Пенроузом – соавтором первой статьи и невозможном трибаре.

Рисунок 5.

На рисунке 5 изображен трибар, составленный из пронумерованных блоков размером 1х1х1 дм. Простым подсчетом блоков мы можем выяснить что объем фигуры 12 дм 3 , и прощадь – 48 дм 2 .

Рисунок 6.
Рисунок 7.

Аналогичным способом мы можем подсчитать расстояние, которая пройдет божья коровка по трибару (рисунок 7). Центральная точка каждого бруска пронумерована, и направление движения отмечено стрелками. Таким образом, поверхность трибара представляется как длинная непрерывная дорога. Божья коровка должна совершить четыре полных круга, прежде чем вернется в исходную точку.

Рисунок 8.

Вы можете начать подозревать, что невозможный трибар имеет какие-то секреты на своей невидимой стороне. Но без труда можно нарисовать прозрачный невозможный трибар (рис. 8). В данном случае все четыре стороны видимы. Тем не менее, объект продолжает выглядеть вполне реальным.

Давайте зададим вопрос еще раз: что в действительности делает трибар фигурой, которая может интерпретироваться таким множеством способов. Надо помнить, что ГЛАЗ обрабатывает изображение невозможного объекта с сетчатки также, как и изображения обычных предметов - стула или дома. Результатом является "пространственное изображение". На этом этапе нет разницы между невозможным трибаром и обычным стулом. Таким образом, невозможный трибар существует в глубинах нашего мозга на том же самом уровне, что и всех остальные объекты, окружающие нас. Отказ глаза подтвердить трехмерную "жизнеспособность" трибара в реальности никоим образом не уменьшает факта присутствия невозможного трибара у нас в голове.

В главе 1 мы встретились с невозможным объектом, чье тело исчезало в никуда. В карандашном рисунке "Пассажирский поезд" (рис. 11) Fons de Vogelaere тонко воспользовался тем же принципом с усиленной колонной в левой части картины. Если мы проследим взглядом по колонне сверху вниз, или закроем нижнюю часть картины, то увидим колонну, которая поддерживается четырьмя опорами (из которых видны только две). Однако, если посмотреть снизу на ту же колонну, то увидим достаточно широкий проем, сквозь который может проехать поезд. Твердые каменные блоки в то же самое время оказываются... тоньше воздуха!

Данный объект достаточно прост для категоризации, но оказывается достаточно сложным, когда мы начинаем его анализировать. Исследователи, такие как Broydrick Thro, показали, что само описание данного явления приводит к противоречиям. Конфликт в одной из границ. ГЛАЗ сначала просчитывает контуры, а затем собирает из них фигуры. Путаница возникает, когда контуры имеют сразу два назначения в двух разных фигурах или частях фигуры, как на рисунке 11.

Рисунок 9.

Аналогичная ситуация возникает и на рисунке 9. В данной фигуре линия контура l проявляется и как граница формы A и как граница формы B. Однако, она не является границей обеих форм одновременно. Если ваши глаза посмотрят сначала на верхнюю часть рисунка, то, опускаясь взглядом вниз, линия l будет восприниматься, как граница формы A и будет оставаться такой до тех пор, пока не обнаружится, что A – открытая фигура. В этой точке ГЛАЗ предлагает вторую интерпретацию для линии l , а именно, что она является границей формы B. Если последуем взглядом обратно вверх по линии l , то мы снова вернемся к первой интерпретации.

Если бы это было единственной двусмысленностью, то мы могли бы говорить о пиктографической двойственной фигуре. Но заключение осложняется дополнительными факторами, такими как явление исчезновения фигуры на фоне заднего плана, и, в особенности, пространственным представлением фигуры ГЛАЗом. В связи с этим в можете уже по-другому взглянуть рисунки 7,8 и 9 из главы 1 . Хотя эти типы фигур проявляют себя как настоящие пространственные объекты, мы можем временно назвать их невозможными объектами и описать их (но не объяснить) в следующих общих понятиях: ГЛАЗ вычисляет на основе этих объектов две различные взаимоисключающие трехмерные формы, которые, тем не менее, существуют одновременно. Это можно видеть на рисунке 11 в том, что, как нам кажется, представляет собой монолитную колонну. Однако, при повторном осмотре, она представляется открытой, с просторным промежутком посередине, через который, как показано на рисунке, может проехать поезд.

Рисунок 10. Arthur Stibbe, "In front and behind", картон/акрил, 50x50 см, 1986
Рисунок 11. Fons de Vogelaere, "Пассажирский поезд", рисунок карандашом, 80x98 см, 1984

Невозможный объект как парадокс

Рисунок 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", раскрашенный рисунок тушью, 74x54 см

В начале данной главы мы увидели невозможный объект, как трехмерный парадокс, то есть изображение, чьи стереографические элементы входят в противоречие друг с другом. Перед тем, как исследовать данный парадокс глубже, необходимо понять, существует ли такое явление как пикторафический парадокс. На самом деле он существует – подумайте о русалках, сфинксах и других сказочных существах, часто встречающихся в изобразительном искусстве Средних веков и раннего Возрождения. Но в данном случае не работа ГЛАЗа нарушается таким пиктографическим уравнением, как женщина+рыба=русалка, а наши знания (в частности, знания биологии), согласно которым такая комбинация недопустима. Только там, где пространственные данные на изображении с сетчатки взаимно противоречат друг другу, возникает сбой "автоматической" обработки данных ГЛАЗом. ГЛАЗ не готов обрабатывать настолько странный материал, и мы свидетельствуем новый для нас зрительный опыт.

Рисунок 13a. Harry Turner, рисунок из серии "Paradoxical patterns", смешанная техника, 1973-78
Рисунок 13b. Harry Turner, "Corner", смешанная техника, 1978

Мы можем разделить пространственную информацию, содержащуюся в изображении с сетчатки глаза (когда смотрим только одним глазом) на два класса – природный и культурный. Первый класс содержит информацию, на которую культурная среда человека не оказывает никакого влияния, и которая также обнаруживается на картинах. К такой истинной "неиспорченной природе" относится следующее:

• Объекты одинакового размера выглядят тем меньше, чем дальше они находятся. Это основной принцип линейной перспективы, которая играет главную роль в изобразительном искусстве со времен Возрождения;
• Объект, который частично загораживает другой объект, находится ближе к нам;
• Объекты или части объекта, соединенные друг с другом, находятся на одинаковом расстоянии от нас;
• Объекты, находящиеся сравнительно далеко от нас, будут менее различимы и будут скрыты голубой дымкой пространственной перспективы;
• Та сторона объекта, на которую падает свет, ярче, чем противоположная сторона, и тени указывают в направлении противоположном источнику света.

Рисунок 14. Zenon Kulpa, "Невозможные фигуры", тушь/бумага, 30x21 см, 1980

В культурном окружении два следующих фактора играют важную роль в нашей оценке пространства. Люди создали свое жилое пространство таким, что в нем преобладают прямые углы. Наша архитектура, мебель и многие инструменты, по существу, составлены из прямоугольников. Можно сказать, что мы упаковали наш мир к прямоугольную систему координат, в мир прямых линий и углов.

Рисунок 15. Mitsumasa Anno, "Сечение куба"
Рисунок 16. Mitsumasa Anno, "Сложная деревянная головоломка"
Figure 17. Monika Buch, "Синий куб", акрил/дерево, 80x80 см, 1976

Таким образом, наш второй класс пространственной информации - культурный, ясен и понятен:

• Поверхность – это плоскость, которая продолжается до тех пор, пока другие детали не сообщат нам, что она не закончилась;
• Углы, в которых встречаются три плоскости, определяют три основных направления, в связи с чем, зигзагообразные линии могут указывать на расширение или сужение.

Рисунок 18. Tamas Farcas, "Кристалл", irisated print, 40x29 см, 1980
Рисунок 19. Frans Erens, акварель, 1985

В нашем контексте, различие между природным и культурным окружением очень полезно. Наше зрительное чувство развивалось в природном окружении, и также оно имеет поразительную способность точно и безошибочно обрабатывать пространственную информацию из культурной категории.

Невозможные объекты (по крайней мере, бóльшая их часть) существуют благодаря наличию взаимно противоречащих друг другу пространственных утверждений. Например, на картине Жоса де Мея "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia" (рис. 20), плоская поверхность, образующая верхнюю часть стены распадается внизу на несколько плоскостей, находящихся на разном расстоянии от наблюдателя. Впечатление о разных расстояниях также формируется перекрывающимися частями фигуры на картине Arthur Stibbe "In front and behind" (рис. 10), которые противоречат правилу плоской поверхности. На акварельном рисунке Frans Erens (рис. 19), полка, изображенная в перспективе, уменьшающимся в размере концом сообщает нам, что она расположена горизонтально, уходя вдаль от нас, и она также прикреплена к опорам таким образом, чтобы находиться вертикально. На картине "The five bearers" Fons de Vogelaere (рис. 21) мы будем ошеломлены количеством стереографических парадоксов. Хотя в картине не содержится парадоксальных перекрытий объектов, в ней много парадоксальных соединений. Представляет интерес способ, которым центральная фигура соединена с потолком. Пять фигур, подпирающих потолок, соединяют парапет и потолок настолько большим количеством парадоксальных соединений, что ГЛАЗ отправляется в бесконечный поиск точки, с которой лучше рассматривать их.

Рисунок 20. Jos de Mey, "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia", холст/акрил, 60x70 cm, 1983
Рисунок 21. Fons de Vogelaere, "The five bearers", рисунок карандашом, 80x98 см, 1985

Вы можете подумать, что при помощи каждого возможного типа стереографического элемента, который появляется на картине, относительно просто составить систематический обзор невозможных фигур:

• Те, что содержат элементы перспективы, находящие во взаимном конфликте;
• Те, в который элементы перспективы в конфликте с пространственной информацией, указанной перекрывающимися элементами;
• и т.д.

Однако, мы вскоре обнаружим, что не сможем обнаружить существующие примеры для многих таких конфликтов, в то время как некоторые невозможные объекты будет трудно вписать в подобную систему. Тем не менее, такая классификация позволит нам обнаружить еще много до сих пор неизвестных типов невозможных объектов.

Рисунок 22. Shigeo Fukuda, "Images of illusion", screenprint, 102x73 см, 1984

Определения

В заключение данной главы давайте попытаемся дать определение невозможным объектам.

В моей первой публикации о картинах с невозможными объектами М.К. Эшера, которая появилась примерно в 1960 году, я пришел к следующей формулировке: возможный объект всегда может рассматриваться как проекция - представление трехмерного объекта. Однако, в случае невозможных объектов, не существует трехмерного объекта, чьим представлением является данная проекция, и в данном случае мы можем называть невозможный объект – иллюзорным представлением. Данное определение является не только неполным, но и неправильным (к этому мы еще вернемся в главе 7), так как оно относится только математической стороне невозможных объектов.

Рисунок 23. Oscar Reutersvärd, "Cubic organization of space", раскрашенный рисунок тушью, 29x20.6 cm.
В действительности данное пространство не является заполненным, так как кубы большего размера не связаны с кубами меньшего размера.

Зенон Кульпа предлагает следующее определение: изображение невозможного объекта – это двухмерная фигура, создающее впечатление существующего трехмерного объекта, причем эта фигура не может существовать так, как мы ее пространственно интерпретируем; таким образом, любая попытка создать его ведет к (пространственным) противоречиям, которые отчетливо видны зрителю.

Последнее замечание Кульпы предлагает один практический путь выяснения, является ли объект невозможным или нет: просто попробуйте создать его самостоятельно. Вы вскоре увидите, возможно даже до начала конструирования, что вы не сможете этого сделать.

Я предпочел бы определение, которое подчеркивает, что ГЛАЗ при анализе невозможного объекта приходит к двум противоречивым заключениям. Мне больше нравится именно такое определение, так как оно охватывает причину этих взаимно конфликтующих заключений, и, кроме этого, разъясняет тот факт, что невозможность – это не математическое свойство фигуры, а свойство интерпретации фигуры зрителем.

На основании этого я предлагаю следующее определение:

Невозможный объект обладает двухмерным представлением, которое ГЛАЗ интерпретирует как трехмерных объект, причем в то же время ГЛАЗ определяет, что данный объект не может быть трехмерным, так как пространственная информация, содержащаяся в фигуре, - противоречива.

Рисунок 24. Oscar Reutersväird, "Impossible four-bar with Crossbars"
Рисунок 25. Bruno Ernst, "Mixed illusions", фотография, 1985

Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и они не могут быть созданы в реальном мире. Однако из школьного курса геометрии нам известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное множество. Это же относится и к невозможным фигурам.

Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако, при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже (рис. 1). Данная фотография создана известным популяризатором работ М.К. Эшера, автором большого количества книг Бруно Эрнстом. На переднем плане фотографии мы видим фигуру невозможного треугольника. На заднем плане установлено зеркало, в котором отражается та же фигура с другой точки зрения. И мы видим, что на самом деле фигура невозможного треугольника является не замкнутой, а разомкнутой фигурой. И только с той точки, с которой мы обозреваем фигуру кажется, что вертикальный брусок фигуры заходит за горизонтальный брусок, вследствие чего фигура кажется невозможной. Если бы мы сместили угол обзора немного, ты нам сразу бы стал виден разрыв в фигуре, и она потеряла бы свой эффект невозможности. Тот факт, что невозможная фигура выглядит невозможной только с одной точки зрения характерен для всех невозможных фигур.

Рис. 1. Фотография невозможного треугольника, сделанная Бруно Эрнстом.

Как уже было сказано выше, количество фигур, соответствующих заданной проекции, бесконечное множество, поэтому вышеприведенный пример является не единственным способом построения невозможного треугольника в реальности. Бельгийский художник Матье Хемакерз (Mathieu Hamaekers) создал скульптуру, представленную на рис. 2. Фотография слева показывает фронтальный вид фигуры, при котором она выглядит невозможным треугольником, центральная фотография показывает ту же фигуру, повернутую на 45°, а фотография справа – фигуру, повернутую на 90°.

Рис. 2. Фотография фигуры невозможного треугольника Матье Хемакерза.

Как можно заметить, в данной фигуре вообще нет прямых линий, все элементы фигуры изогнуты определенным образом. Однако, как и в предыдущем случае эффект невозможности заметен лишь при одном угле обзора, когда все изогнутые линии проецируются в прямые, и, если не обращать внимания на некоторые тени, фигура выглядит невозможной.

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен русским художником и конструктором Вячеславом Колейчуком и опубликован в журнале "Техническая эстетика" №9 (1974). Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно. Он создал такую модель треугольника из дерева.

Рис. 3. Модель невозможного треугольника Вячеслава Колейчука.

Позже эта модель была воссоздана сотрудником факультета компьютерных наук института Technion в Израиле Элбером Гершоном (Gershon Elber). Его вариант (см. рис. 4) был сначала спроектирован на компьютере, а затем воссоздан в реальности при помощи трехмерного принтера. Если сместить немного угол обзора невозможного треугольника, то мы увидим фигуру, подобную второй фотографии на рис. 4.

Рис. 4. Вариант построения невозможного треугольника Элбера Гершона.

Стоит отметить, что если бы мы смотрели сейчас на сами фигуры, а не на их фотографии, то мы бы сразу увидели, что ни одна из представленных фигур не является невозможной, и в чем заключается секрет каждой из них. Мы бы просто не смогли бы увидеть эти фигуры невозможными, так как мы обладаем стереоскопическим зрением. То есть наши глаза, расположенные на определенном расстоянии друг от друга, видят один и тот же объект с двух близких, но все же разных, точек зрения, и наш мозг, получив два изображения от наших глаз совмещает их в единую картину. Ранее было сказано, что невозможный объект выглядит невозможным только с единственной точки зрения, а так как мы обозреваем объект с двух точек зрения, то мы сразу же видим те уловки, при помощи которых создан тот или иной объект.

Значит ли это, что в реальности все же увидеть невозможный объект нельзя? Нет, можно. Если вы закроете один глаз и будете смотреть на фигуру, то она будет выглядит невозможной. Поэтому в музеях при демонстрации невозможных фигур заставляют посетителей смотреть на них сквозь небольшое отверстие в стене одним глазом.

Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт .

Если невозможный треугольник относительно несложно сконструировать в реальном мире, то совсем создать невозможный трезубец в трехмерном пространстве не так-то просто. Особенностью этой фигуры является наличие противоречия между передним и задним планом фигуры, когда отдельные элементы фигуры плавно преходят в фон, на котором расположена фигура.

Рис. 5. Конструкция подобная невозможному трезубцу.

В Институте Глазной Оптики в городе Аахен (Германия) смогли решить эту задачу, создав специальную установку. Конструкция состоит из двух частей. В передней части расположены три круглые колонны и строитель. Эта часть освещается только внизу. За колоннами расположено полупроницаемое (half-permeable) зеркало с отражающим слоем, расположенным спереди, то есть зритель не видит то, что находится за зеркалом, а видит в нем только отражение колонн.

Рис. 6. Схема установки, воспроизводящий невозможный трезубец.

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта,

при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Невозможные фигуры

Наиболее известные невозможные фигуры: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.

Невозможный треугольник Перроуза

Иллюзия Рейтерсварда (Reutersvard, 1934)

Обратите внимание также и на то, что изменение организации "фигура-фон" сделало возможным восприятие расположенной в центре "звезды".
_________

Невозможный куб Эшера

На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия). Здесь невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами.

Чёртова вилка
Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («чертова вилка»).

Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект - плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой.

Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.

Некоторые книги утверждают, что невозможный трезубец принадлежит к классу невозможных фигур, которые не могут быть воссозданы в реальном мире. На самом деле это не так. ВСЕ невозможные фигуры можно увидеть в реальном мире, но невозможными они будут выглядеть только с одной единственной точки зрения.

______________

Невозможный слон


Сколько ног у слона?

Психолог из Стенфорда Роджер Шепард (Roger Shepard) использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

______________

Лестница Пенроуза (бесконечная лестница, невозможная лестница)

Бесконечная лестница" - одна из самых известных классических невозможностей.

Представляет собой такую конструкцию лестницы, при которой в случае движения по ней в одном направлении (на рисунке к статье против часовой стрелки) человек будет бесконечно подниматься, а при движении в обратном — постоянно спускаться.

Другими словами, перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам в самом деле пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом!

С тех пор как Пенроузы опубликовали эту фигуру, она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. "Бесконечную лестницу" можно встретить в книгах об играх, головоломках, иллюзиях, в учебниках по психологии и другим предметам.

«Восхождение и нисхождение»

«Бесконечной лесницей"» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей чарующей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году.
В этом рисунке, отражающем все возможности фигуры Пенроуза, вполне узнаваемая Бесконечная лестница аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи в капюшонах непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.

Соответственно, «Бесконечная лестница» стала чаще ассоциироваться с Эшером, перерисовавшим ее, чем с Пенроузами, которые ее придумали.

Сколько тут полок?

Куда открыта дверь?

Наружу или вовнутрь?

Невозможные фигуры изредка появлялись на полотнах мастеров прошлого, например, такова виселица на картине Питера Брейгеля (Старшего)
«Сорока на виселице» (1568)

__________

Невозможная арка

Жос де Мей (Jos de Mey) - фламандский художник, обучался в Королевской Академии Изящных Искусств в Генте (Бельгия), а затем обучал студентов дизайну интерьеров и цвету на протяжении 39 лет. Начиная с 1968 года центром его внимания стало рисование. Он наиболее известен тщательным и реалистичным исполнением невозможных структур.

Наиболее известны невозможные фигуры в работах художника Мориса Эшера. При рассматривании таких рисунков каждая отдельная деталь кажется вполне правдоподобной, однако при попытке проследить линию, оказывается, что эта линия уже, например, не внешний угол стены, а внутренний.

«Относительность»

Эта литография голландского художника Эшера впервые была напечатана в 1953 году.

На литографии изображен парадоксальный мир, в котором не применяются законы реальности. В одном мире объединены три реальности, три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой.

Создана архитектурная структура, реальности объединены лестницами. Для людей, живущих в этом мире, но в разных плоскостях реальности, одна и та же лестница будет направлена или вверх или вниз.

«Водопад»

Эта литография голландского художника Эшера впервые была напечатана в октябре 1961 года.

В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного» треугольника Пенроуза: литография была создана по мотивам статьи в «Британском журнале психологии».

Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель. Кажется также, что обе башни одинаковы; на самом деле та, что справа, на этаж ниже левой башни.

Ну и более современные работы:о)
Бесконечная фотография

Удивительная стройка

Шахматная доска

Перевёрнутые картинки

Что вы видите: огромную ворону с добычей или рыбака в лодке, рыбу и остров с деревьями?

Распутин и Сталин

Молодость и старость

_________________

Вельможа и Королева

___________________

Злой и Весельчак

Невозможное – это то,
что не может существовать…
или случиться…

Цель урока: развитие объемного видения учащихся; умение объяснить невозможность существования той или иной фигуры с точки зрения геометрии; развитие интереса к предмету.

Оборудование: газета по материалам сайта "Невозможный мир" (Интернет), инструменты для построения фигур, геометрические фигуры, иллюстрации невозможных фигур.

Ход урока:

Вступительное слово:
На протяжении всей истории люди сталкивались с оптическими иллюзиями того или иного рода. Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые светом и тенью, а также относительным движением. Широко известен следующий пример: луна, поднимающаяся из-за горизонта, кажется гораздо больше, чем высоко в небе. Все это – лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные объекты".

Одним из важных навыков для людей, работающих в технической сфере, является способность воспринимать трехмерные объекты в двухмерной плоскости. "Невозможные объекты" построены на использовании трюков с перспективой и глубиной в рамках двухмерного пространства. Невозможные в реальном трехмерном пространстве, они действуют на наше зрение, благодаря смещенной перспективе, манипуляциям с глубиной и плоскостью, обманчивым оптическим намекам, несоответствиям планов, игре света и тени, неясным соединениям, благодаря неправильным и противоречивым направлениям и связям, измененным точкам кода и другим "фокусам", к которым прибегает художник-график.

Намеренное использование невозможных объектов в дизайне встречалось еще в древние времена до появления классической перспективы. Художники пытались найти новые решения. Примером может служить датируемое XV веком изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На картине изображен архангел Гавриил, приносящий Марии весть о ее будущем Сыне. Фреска обрамлена двумя арками, поддерживаемыми, в свою очередь тремя колоннами. Однако следует обратить внимание на среднюю колонну. В отличие от других, она исчезает на заднем плане за плитой. С практической точки зрения, художник использовал эту "невозможность" как особую технику, позволяющую избежать разделения сцены на две половины.

Пример такой арки приведен на рис. 1

"Невозможные фигуры" делятся на 4 группы. Попробуем сейчас разобрать основные фигуры из каждой группы. Итак, первая:

Ученик 1:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру". Она также получила название "трибар".

Определите, что с точки зрения геометрии невозможно.

(С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но в общем эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.)

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара. Постарайтесь объяснить их невозможность.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Ученик 2:

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" – по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой".

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

"Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками.

На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Попробуйте объяснить, какими свойствами пользовались создатели этой лестницы.

(Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии).

Предлагается посмотреть еще одну фигуру. Ступенчатая стена.

Ученик 3:

Следующая группа фигур под общим названием "Космическая вилка". С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов". Восприятие и разрешение (если это только возможно) несоответствия в этом новом типе двусмысленной фигуры требует настоящего сдвига зрительной фиксации. С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Башня с четырьмя колоннами-близнецами.

Ученик 4:

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве".

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Еще несколько невозможных фигур.

Учитель:

А теперь попробуйте самостоятельно создать какую-либо невозможную фигуру.

Урок заканчивается тем, что ученики пытаются самостоятельно изобразить невозможную фигуру.

Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное" . Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие "странные" рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства, именуемого имп-артом.

Немного истории

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.

Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) "Сорока на виселице", созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) "Фальшивая перспектива" показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.

В начале XX века художник Марсель Дюшамп (Marcel Duchamp) нарисовал рекламную картину "Apolinere enameled" (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники.

Основателем направления невозможного искусства - имп-арта (imp-art, impossible art) по праву называют шведского художника Оскара Рутесварда (Oscar Reutersvard). Первая невозможная фигура "Opus 1" (N 293aa) нарисована мастером в 1934 году. Треугольник составлен из девяти кубиков. Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков. Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.

Этот же художник создал и прототип "невозможной лестницы" (1950). Самую известную классическую фигуру "Невозможный треугольник" английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.

Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher). Среди наиболее известных его произведений - картины "Водопад" ("Waterfall") (1961) и "Восхождение и спуск" ("Ascending and Descending"). Художник использовал эффект "бесконечной лестницы", открытый Рутесвардом и в дальнейшем дополненный Пенроузом. На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

Немного геометрии

Существует множество способов создания оптических иллюзий (от латинского слова "iliusio" - ошибка, заблуждение - неадекватное восприятие предмета и его свойств). Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. Классическая, как уже говорилось, и одна из самых простых подобных фигур - невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.

С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!

Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание "неправильности" объекта и невозможности его существования в трехмерном мире.

Существование невозможных фигур

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них - использование кривых линий в качестве сторон невозможного тре-угольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута - создан реальный "невозможный " объект.

О пользе имп-арта

Оскар Рутесвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.

Использование феномена восприятия

Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? "Невозможнее" ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.

Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности". Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.

Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность - повернутая картинка обладает большей "степенью невозможности", чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать "правильное" изображение.

Комбинации, комбинации

Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них - "невозможный трезубец", или "чертова вилка" (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. На основе "вилки" создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.

Помимо этой иллюзии существует много других видов оптических обманов зрения (иллюзии размера, движения, цвета и т.д.). Иллюзия восприятия глубины - одна из самых давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. В этой статье впервые нарисован объект, впоследствии получивший имя Тьерри и бесчисленное множество раз использованный художниками оп-арта. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз - верхний куб со стенками внизу.

Самая простая фигура из Тьерри-подобных - это, по-видимому, иллюзия "пирамида-проем" , представляющая собой правильный ромб с линией посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим - пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней. Этот эффект использован в графике "Лабиринт (План пирамиды)" 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции и выставке в Будапеште в 2003 году "Ars(Dis)Symmetrica"03". В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.

В заключение можно сказать, что направление имп-арт как составная часть оптического искусства активно развивается, и в ближайшее время нас, несомненно, ожидают новые открытия в этой области.

Кандидат технических наук Д. РАКОВ (Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН).

ЛИТЕРАТУРА

Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990.

Под таким названием журнал вот уже без малого сорок лет публикует рисунки всяческих невозможных фигур и объектов. См. "Наука и жизнь" №№ 5, 8, 1969 г.; № 2, 1970 г.; № 1, 1979 г.; № 10, 1986 г.; № 11 1989 г.; № 8, 1994 г.